Bonjour,
traditionnellement pour ce genre d'exercice il faut montrer que sur cet intervalle ta fonction (f(x)=3x³ + 3x² + x - 4) est soit croissante, soit décroissante (en passant par le signe de la dérivée) et que les images des extrémités de l'intervalle (ici 0 et 1) sont de signes opposés. Cela entraîne une unique racine de f(x)=0 (et donc une unique valeur x telle que 3x³ + 3x² + x  = 4 !)

f(x) = 3x³ + 3x² + x - 4

f'(x) = 9x² + 6x + 1

f'(x) = (3x + 1)²

f'(x) >= 0 sur R (puisque c'est un carré) --> f(x) est strictement croissante sur R

f(0) = -4 < 0
f(1) = 3 + 3 + 1 - 4 = 3 > 0

Des 3 lignes précédentes, on peut conclure qu'il y a une et une seule valeur alpha de x sur R poour laquelle f(x) = 0 et que alpha est dans ]0 ; 1[

Donc :

Il y a une et seule solution alpha sur R à l'équation 3x³ + 3x² + x = 4 et alpha est dans ]0 ; 1[

alpha peut être trouvée par approximations successives (par exemple par la méthode dichotomique) dans l'intervalle ]0 ; 1[

... on trouve alpha = 0,78 (arrondi au centième)
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Mais je n'ai pas pas fait le détour de commencer par me limiter à une étude sur ]0;1[


Sauf distraction.