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Démontrer qu'une fonction est continue
Bonjour,
Je n'arrive pas à démontrer ceci:
soit a et b de 
tel que a < b, f une fonctione strictement croissante dans [a, b]
f([a, b]) = [f(a), f(b)] 
f continue dans [a, b]
Bonjour,
suppose que f ne soit pas continue en un point x0, alors puisque f est croissante
f(x) sur (-oo,x0) <= lim f(x) en x0- < lim f(x) en x0+ <= f(x) sur (x0,+oo)
donc ?
Si f n'est pas continue en x0, comment peux tu etre sur qu'elle admet une limite à droite et à gauche de x0? et comment peux tu etre sur que:
lim f(x) en x0- < lim f(x) en x0+
Parce que ta fonction est strictement croissante !
Toutes les limites vont donc exister et tu vas bien avoir l'inégalité stricte annoncée, à toi de faire les détails la.
j'avoue que je ne te suis pas trop.
Tu peux s'il te plait me dire pourquoi une fonction strictement croissante admet une limite à droite et à gauche.
et aussi, 
(x, y)
]-inf, x0[ * [x0, +inf[ f(x)<f(y) lim f(x) en x0- 
lim f(x) en x0+ et non pas lim f(x) en x0- 
< lim f(x) en x0+
La limite à droite se démontre de la même façon que la limite à gauche.
Pour la limite à gauche:
si tu as y>x0 alors clairement
f(x)<f(y) pour tout x<x0 donc si (x_n) est une suite convergeant vers x0 par la gauche (donc x_n croissante), alors
f(x_n) est croissante et majorée donc elle converge une certaine limite L.
Il faudrait montrer que L ne dépend pas du choix de la suite x_n que tu prends.
Je te laisse montrer ca.
Essentiellement l'idée est la suivante
Suppose que x_n tend vers L et que y_n tend vers L' et suppose si tu veux que L'>L.
Alors nécessairement il existe un y_k tel que
y_k > x_n pour tout n.
En effet, puisque f(y_n) converge vers L', à partir d'un certain rang k on a que f(y_k) est aussi proche de L' que l'on souhaite. On peut être suffisament proche par exemple pour avoir L'> f(y_k) > L.
Puisque x_n est croissante, on a nécessairement f(x_n) < L.
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