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démontrer que les médianes d"un triangle sont concourantes.
Slt , est-ce que vous pouvez m'aider pour cet exercice parce que j'essai de cherher mais je trouve pas .
On considère un traingle ABC. A', B' et C' sont ls milieux des côtés [BC], [CA] et [AB].
Les médianes (BB')et (CC') se coupent en un point G.
Soit D le symétrique de A par rapport à G.
1.Montrer que BGCD est parallélogramme (on pourra utilser la propriété de la droite des milieux).Quel est son centre ? Justifier.
2.En déduire que la troisième médiane (AA') pase aussi par le point G.
3.Montrer que G est situé "aux deux tiers" de chaque médiane.
merci d'avance.
1. BGCD parallélogramme.
En considérant d'une part le triangle ADC,
on remarque que G étant milieu de [AD] et B' le milieu du [AC], par définition du centre de symétrie d'une part, et par donnée d'autre part.
Par le théorème des milieux, on peut donc dire que :
[GB'] // [DC] et GB' = ½ DC
et par suite, comme B', G et B sont alignés que : (GB) // (DC)
Il y a le même raisonnement possible avec le triangle ADB qui conduit à :
[GC'] // [BD] et GC' = ½ BD
et par suite, comme C', G et C sont alignés que : (GC) // (BD).
Si (GB) // (DC) et (GC) // (BD), alors par propriété des parallélogrammes,
BGCD est un parallélogramme.
Et alors ses diagonales se croisent en leur milieu (autre propriété des parallélogrammes).
Ce point est connu, c'est A', le milieu de [BC] défini dans les données.
2. (AA') passe par G.
L'intersection de [BC] et [GD] étant A' et G, D et A étant alignés,
on a donc que (AA') passe par G, qui est médiane du triangle ABC.
Les trois médianes du triangle ABC sont donc concourantes au point G.
3. G au 2/3 de chaque médiane.
BG = DC, par propriété du parallélogramme BGCD.
Et GB' = ½ DC (déjà démontrer en (1))
Donc BG = 2 GB' et G est bien au 2/3 de BB' ( et au 1/3 de B'B).
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