Bonjour,
Bizarre cet énoncé où il faut démontrer que quelque chose est nul alors que rien n'est nul au départ

salut

ouais ... un énoncé tout simple est :

Soient a,b et c des nombres entiers naturels tels que a^4 +b^4 = c^2.
Montrer que l'un des nombres a ou b est nul.

en raisonnant modulo 8 :

un carré est congru à 0, 1 ou 4
donc le carré d'un carré est congru à 0 ou 1
donc la somme de deux puissances quatrièmes est congrue à 0, 1 ou 2

et cette somme doit être un carré

faire alors en détail les tables de congruence des carrés, puissances quatrièmes et somme de deux puissances quatrièmes pour mieux voir les choses et traiter les cas particuliers ...

Bonjour

Mais oui

Heu, cardpediem, tu es sûr d'arriver à conclure en travaillant uniquement modulo 8 ?

C'est fait dans la magnifique démonstration d'Euler du théorème de Fermat pour n=4. En effet, Euler y montre que n'a pas de solution non triviale, et donc que c'est plié. Sur wikipedia ici: .  Mais c'est quand même très subtile! Et y arriver seul sans un énoncé guidé, ça demande quand même un bon niveau!

GBZM : je n'ai pas dis que ça suffisait :

Tout ce que montre ce que tu suggères, c'est que si on suppose a, b, c premiers entre eux dans leur ensemble (on peut toujours se ramener à ce cas), alors nécessairement est impair (et donc un des deux a, b est impair et l'autre pair).
Ça ne fait pas tant que ça avancer le schmilblck.

Bonsoir,

Une approche. On peut écrire que :



Donc en posant u=a²+b² et v=ab, on cherche des solutions de:
, qui  n'en possède pas à part (0,0,0).
Car quitte à simplifier par le plus gros 4ⁿ on se ramène au cas u, c impairs, ce qui donne :

(u-c) et (u+c) on la même parité et sont nécessairement pairs donc leur produit est multiple de 4 donc v est pair donc on simplifie par 4 ce qui donne la même équation vérifiée par des "u-c", "u+c" et "v" strictement plus petits. Et on descend comme ça.

J'espère ne pas avoir écrit de *****

_{* Modération > mot peu élégant effacé *}

Si on note ,

il s'agit de prouver par l'absurde que .


Sinon soit et tels que ,

les deux entiers naturels non nuls, et sont alors premiers entre eux

car si est un diviseur premier commun à et on aurait

et donc ce qui contredirait la minimalité de .

Le triplet est donc un triplet pythagoricien primitif

et vu le rôle symétrique de et , on peut supposer ,

d'où l'existence de deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, tels que

.

Le triplet est alors aussi un triplet pythagoricien primitif

d'où l'existence de deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, tels que

. D'où

les trois entiers naturels , et étant deux à deux premiers entre eux

on conclut que ce sont des carrés, d'où l'existence de tels que

et donc et donc

ce qui est absurde vu que _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonjour elhor_abdelali,
Et bravo pour ta solution !
J'étais partie aussi dans cette direction des triplets pythagoriciens, sans réussir à aboutir.
L'utilisation du minimum est le déclic.

Une remarque de détail :
Noter c le minimum de A alors que c figure dans sa définition me chiffonne, peut-être à tort.

Je pense que l'approche de thetapinch27 est exploitable.
Elle a l'avantage de ne pas faire appel aux triplets pythagoriciens.
Le "Et on descend comme ça" m'avait bloquée ; on doit pouvoir le contourner en introduisant un minimum quelque part.

J'ai pris le temps de mieux regarder le message de thetapinch27.
Le début est OK :
Soit (1) l'égalité a⁴ + b⁴ = c²
(1) (a² + b²)² - 2(ab)² = c²
En posant u = a² + b² et v = ab , on a
(1) u² - 2v² = c² 2v² = (u-c)(u+c)

Ensuite :

Bonsoir,

Tu as raison tel que je l'ai écrit, il y a un trou dans la raclette car j'ai supposé que la propriété "sont de même parité" allait se conserver de façon triviale durant la descente.  Alors, cela est vrai, mais c'est pas du tout évident:



Supposons qu'une solution (u, v, c) existe, avec v non nul (sinon a=0 ou b=0, donc a=b=0, donc c=0 et on tombe sur la solution triviale).

* Si u et c sont impairs tous les deux
Écrivons u=2p+1 et c=2q+1, alors:

Donc 2 divise v² donc divise v, donc on pose v'=v/2 et on montre que :

Donc (p+1, v/2, q+1) est une autre solution où tous les termes sont  strictement plus faibles qu'avant SAUF dans le cas p=q=0. Mais ce cas là est impossible car (1,v/2ⁿ,1) n'est pas solution car on a supposé v#0.

* Si u et c sont pairs (u=2p et c=2q)  c'est le même principe. On arrive à une nouvelle solution (p, v/2, q) qui elle est strictement décroissante sauf dans le cas p=q=0. Mais ce cas n'arrivera pas car (0,v/2ⁿ, 0) n'est pas solution.

En gros cela montre que l'existence d'une solution implique qu'il existe une solution de la forme (u,v,c)=(0, v/2ⁿ, 0) ou (1,v/2ⁿ,1) ce qui est contradictoire.

En espérant ne pas avoir écrit d'ineptie

Merci thetapinch27 pour ta réponse.
Je ne pourrai pas la regarder sérieusement avant demain en fin d'après midi.

Une réponse rapide pour la démonstration de thetapinch27 :
Il faut modifier ce passage dans le message du 28 :

Citation :
on cherche des solutions de:
, qui n'en possède pas à part (0,0,0).

Aïe :

Citation :
Écrivons u=2p+1 et c=2q+1, alors: