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Niveau Maths sup
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Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul

Posté par
zizou67
28-01-24 à 11:29

Bonjour je n'arrive pas l'exercice suivant :
Soient a,b et c des nombres entiers naturels non tous nuls. On suppose que a^4 +b^4 = c^2.
Démontrer que l'un des nombres a et b est nul

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 11:36

Bonjour,
Bizarre cet énoncé où il faut démontrer que quelque chose est nul alors que rien n'est nul au départ

Posté par
carpediem
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 12:13

salut

ouais ... un énoncé tout simple est :

Soient a,b et c des nombres entiers naturels tels que a^4 +b^4 = c^2.
Montrer que l'un des nombres a ou b est nul.


en raisonnant modulo 8 :

un carré est congru à 0, 1 ou 4
donc le carré d'un carré est congru à 0 ou 1
donc la somme de deux puissances quatrièmes est congrue à 0, 1 ou 2

et cette somme doit être un carré

faire alors en détail les tables de congruence des carrés, puissances quatrièmes et somme de deux puissances quatrièmes pour mieux voir les choses et traiter les cas particuliers ...

Posté par
GBZM
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 14:40

Bonjour

Citation :
rien n'est nul au départ

Heu, Sylvieg, ne confondrais-tu pas "non tous nuls" et "tous non nuls" ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 14:41

Mais oui

Posté par
GBZM
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 14:43

Heu, cardpediem, tu es sûr d'arriver à conclure en travaillant uniquement modulo 8 ?

Posté par
fabo34
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 16:32

C'est fait dans la magnifique démonstration d'Euler du théorème de Fermat pour n=4. En effet, Euler y montre que a^4 +b^4 = c^2 n'a pas de solution non triviale, et donc que c'est plié. Sur wikipedia ici: .  Mais c'est quand même très subtile! Et y arriver seul sans un énoncé guidé, ça demande quand même un bon niveau!

Posté par
carpediem
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 17:37

GBZM : je n'ai pas dis que ça suffisait :

carpediem @ 28-01-2024 à 12:13

faire alors en détail les tables de congruence des carrés, puissances quatrièmes et somme de deux puissances quatrièmes pour mieux voir les choses et traiter les cas particuliers ...

il me semble simplement que ça élimine un bon nombre de cas ... mais pas tous malheureusement et qu'il faut mettre les mains dans le cambouis sérieusement ensuite

Posté par
GBZM
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 17:57

Tout ce que montre ce que tu suggères, c'est que si on suppose a, b, c premiers entre eux dans leur ensemble (on peut toujours se ramener à ce cas), alors nécessairement c est impair (et donc un des deux a, b est impair et l'autre pair).
Ça ne fait pas tant que ça avancer le schmilblck.

Posté par
thetapinch27
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 28-01-24 à 20:04

Bonsoir,

Une approche. On peut écrire que :

a^4+b^4 = (a^2-b^2)^2 + 2(ab)^2 =(a^2+b^2-2ab)(a^2+b^2+2ab) + 2(ab)^2

Donc en posant u=a2+b2 et v=ab, on cherche des solutions de:
u^2-2v^2=c^2, qui  n'en possède pas à part (0,0,0).
Car quitte à simplifier par le plus gros 4n on se ramène au cas u, c impairs, ce qui donne :
2v^2=(u-c)(u+c)
(u-c) et (u+c) on la même parité et sont nécessairement pairs donc leur produit est multiple de 4 donc v est pair donc on simplifie par 4 ce qui donne la même équation vérifiée par des "u-c", "u+c" et "v" strictement plus petits. Et on descend comme ça.

J'espère ne pas avoir écrit de *****

* Modération > mot peu élégant effacé *

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 29-01-24 à 23:50

Si on note \blue\Large\boxed{A=\{c\in\mathbb N^*~/~\exists a,b\in\mathbb N^*~,~a^4+b^4=c^2\}},

il s'agit de prouver par l'absurde que \blue\Large\boxed{A=\emptyset}.


Sinon soit \red\Large\boxed{c=\min A} et \Large\boxed{a,b\in\mathbb N^*} tels que \Large\boxed{a^4+b^4=c^2},

\bullet les deux entiers naturels non nuls, \Large a et \Large b sont alors premiers entre eux

car si \Large p est un diviseur premier commun à \Large a et \Large b on aurait \Large p|c^2

et donc \Large\boxed{\left(\frac{a}{p}\right)^4+\left(\frac{b}{p}\right)^4=\left(\frac{c}{p^2}\right)^2} ce qui contredirait la minimalité de \Large c.

\bullet Le triplet \Large\left(a^2,b^2,c\right) est donc un triplet pythagoricien primitif

et vu le rôle symétrique de \Large a et \Large b, on peut supposer \Large\boxed{a~impair},

d'où l'existence de deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, \Large\boxed{u<v} tels que

\Large\boxed{\left\lbrace\begin{array}l a^2=v^2-u^2\\b^2=2uv\\c=v^2+u^2\end{array}}.

\bullet Le triplet \Large\left(a,u,v\right) est alors aussi un triplet pythagoricien primitif

d'où l'existence de deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, \Large\boxed{x<y} tels que

\Large\boxed{\left\lbrace\begin{array}l a=y^2-x^2\\u=2xy\\v=y^2+x^2\end{array}}. D'où \red\Large\boxed{\left(\frac{b}{2}\right)^2=x~y~(x^2+y^2)}

les trois entiers naturels x , y et x^2+y^2 étant deux à deux premiers entre eux

on conclut que ce sont des carrés, d'où l'existence de \Large\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb N^* tels que

\Large\boxed{\left\lbrace\begin{array}l x=\alpha^2\\y=\beta^2\\x^2+y^2=\gamma^2\end{array}} et donc \red\Large\boxed{\alpha^4+\beta^4=\gamma^2} et donc \red\Large\boxed{\gamma\in A}

ce qui est absurde vu que \red\Large\boxed{\gamma<\gamma^2=v<v^2<c} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 30-01-24 à 09:44

Bonjour elhor_abdelali,
Et bravo pour ta solution !
J'étais partie aussi dans cette direction des triplets pythagoriciens, sans réussir à aboutir.
L'utilisation du minimum est le déclic.

Une remarque de détail :
Noter c le minimum de A alors que c figure dans sa définition me chiffonne, peut-être à tort.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 30-01-24 à 12:07

Je pense que l'approche de thetapinch27 est exploitable.
Elle a l'avantage de ne pas faire appel aux triplets pythagoriciens.
Le "Et on descend comme ça" m'avait bloquée ; on doit pouvoir le contourner en introduisant un minimum quelque part.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 30-01-24 à 17:44

J'ai pris le temps de mieux regarder le message de thetapinch27.
Le début est OK :
Soit (1) l'égalité a4 + b4 = c2
(1) (a2 + b2)2 - 2(ab)2 = c2
En posant \; u = a2 + b2 \; et \; v = ab , on a
(1) u2 - 2v2 = c2 2v2 = (u-c)(u+c)

Ensuite :

Citation :
(u-c) et (u+c) on la même parité et sont nécessairement pairs donc leur produit est multiple de 4 donc v est pair donc on simplifie par 4
Ce que j'ai compris :
u-c = 2x , \; u+c = 2y \; et \; v = 2z .
Dans \; 2v2 = (u-c)(u+c) , ça donne
8z2 = 4xy . D'où \; 2z2 = xy .
Mais je ne vois pas les "u-c", "u+c" strictement plus petits.

Posté par
thetapinch27
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 30-01-24 à 20:38

Bonsoir,

Tu as raison tel que je l'ai écrit, il y a un trou dans la raclette car j'ai supposé que la propriété "sont de même parité" allait se conserver de façon triviale durant la descente.  Alors, cela est vrai, mais c'est pas du tout évident:

2v^2=(u-c)(u+c)

Supposons qu'une solution (u, v, c) existe, avec v non nul (sinon a=0 ou b=0, donc a=b=0, donc c=0 et on tombe sur la solution triviale).

* Si u et c sont impairs tous les deux
Écrivons u=2p+1 et c=2q+1, alors:
2v^2=4(p+q+2)(p-q)
Donc 2 divise v2 donc divise v, donc on pose v'=v/2 et on montre que :
2v'^2=(p+q+2)(p-q)=((p+1)-(q+1))(p+1+q+1)
Donc (p+1, v/2, q+1) est une autre solution où tous les termes sont  strictement plus faibles qu'avant SAUF dans le cas p=q=0. Mais ce cas là est impossible car (1,v/2n,1) n'est pas solution car on a supposé v#0.

* Si u et c sont pairs (u=2p et c=2q)  c'est le même principe. On arrive à une nouvelle solution (p, v/2, q) qui elle est strictement décroissante sauf dans le cas p=q=0. Mais ce cas n'arrivera pas car (0,v/2n, 0) n'est pas solution.

En gros cela montre que l'existence d'une solution implique qu'il existe une solution de la forme (u,v,c)=(0, v/2n, 0) ou (1,v/2n,1) ce qui est contradictoire.

En espérant ne pas avoir écrit d'ineptie

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 30-01-24 à 20:55

Merci thetapinch27 pour ta réponse.
Je ne pourrai pas la regarder sérieusement avant demain en fin d'après midi.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 30-01-24 à 23:17

Citation :
Noter c le minimum de A alors que c figure dans sa définition me chiffonne, peut-être à tort.


Oui Sylvieg au début j'ai noté \Large m le minimum

puis j'ai constaté que ça faisait trop de notations

une petite rectification :

\bullet les deux entiers naturels non nuls, \Large a et \Large b sont alors premiers entre eux

car si \Large p est un diviseur premier commun à \Large a et \Large b on aurait \red\Large p^2|c

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 31-01-24 à 07:34

Une réponse rapide pour la démonstration de thetapinch27 :
Il faut modifier ce passage dans le message du 28 :

Citation :
on cherche des solutions de:
u^2-2v^2=c^2, qui n'en possède pas à part (0,0,0).
avec "qui n'en possède pas avec v non nul."
On peut utiliser V l'ensemble des v de * tels qu'il existe u et c dans * vérifiant (u-c)(u+c) = 2v2.
Le message du 30 démontre que si v est dans V alors v/2 est dans V.
L'ensemble V n'a pas de minimum ; il est donc vide.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 31-01-24 à 07:43

Aïe :

Citation :
Écrivons u=2p+1 et c=2q+1, alors:
2v^2=4(p+q+2)(p-q)
Si u = 2p+1 et c = 2q+1 alors u+c 2(p+q+2).

Posté par
thetapinch27
re : Démontrer que si a^4 + b^4 = c^2 alors a ou b est nul 01-02-24 à 20:01

Sylvieg @ 31-01-2024 à 07:43

Aïe [...].

Ouais comme tu dis ... Je crois que j'ai bien fait de prendre une précaution à la toute fin de mon message. Affaire à suivre du coup...



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