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Démontrer que Un+1-Un

Posté par
Maxeuh 17-10-21 à 13:18

Bonjour,

J'ai ce DM à faire, et je bloque actuellement à la question 2b

Consigne

On considère la suite (Un) définie par U0 = 1 et pour tout entier naturel n, U_{n+1} = \frac{9}{6-U_{n}}


Question 1

On considère la fonction f définie sur ]-\infty;6[ par f(x)=\frac{9}{6-x}.
Etudier les variations de la fonction f sur ]-\infty;6[.

f'(x) = \frac{u'v \times uv'}{v^2} avec u' = 0 et v' = 0 - 1 = -1

f'(x) = \frac{0 \times (6-x)-9 \times (-1)}{(6-x)^2} = \frac{9}{(6-x)^2}

\begin{array} {|c|cccc|} x & -\infty & & 6 & \\ {9} & & + & & \\ {(6-x)^2} & & + & & \\ {f'(x)} & & + & & \\ {f(x)} & & \nearrow & & \end{array}

Question 2a

Démontrer que pour tout entier naturel n : 0 < Un < 3

On pose P(n) : "0 < Un < 3"

Initialisation : pour n = 0
U0 = 1 0 < 1 < 3
donc P(0) vraie

Hérédité : On suppose P(n) vraie pour un certain rang n soit : 0 < Un < 3
0 < Un < 3 6 - 0 < 6 - Un < 6 - 3
\frac{9}{6} < \frac{9}{6-U_{n}}< \frac{9}{3}
1,5 < Un+1 < 3
0 < 1,5, nous pouvons donc dire que 0 < 1,5 < Un+1 < 3 donc 0 < Un+1 < 3
donc P(n+1) vraie

Donc n, 0 < Un < 3

Question 2b

Démontrer que pour tout entier naturel n : U_{n+1} - U_{n} = \frac{(3-U_{n})^2}{6-U_{n}}

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 13:34

bonjour,

tu bloques où exactement ?
qu'as tu écrit ?

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 13:50

J'ai simplement écrit que U_{n+1} - U_{n} = \frac{9}{6-U_{n}} - U_{n}. Après je sais pas où je dois en venir...

Posté par
carpediemre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 14:01

salut

Maxeuh @ 17-10-2021 à 13:50

J'ai simplement écrit que U_{n+1} - U_{n} = \frac{9}{6-U_{n}} - U_{n}. Après je sais pas où je dois en venir...

pourtant on te donne la réponse :
Maxeuh @ 17-10-2021 à 13:18


Question 2b

Démontrer que pour tout entier naturel n : U_{n+1} - U_{n} = \frac{(3-U_{n})^2}{6-U_{n}}

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 14:05

Je reformule 😅
Je sais pas qu'est ce que je peux faire pour en arriver à là

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 14:08

carpediem, je te laisse la main.

Posté par
carpediemre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 14:16

non Leile je suis juste passé mais je te laisse continuer maintenant !!

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 15:12

Maxeuh

\frac{9}{6- a} - a  =  ?
tu mets au même dénominateur, n'est ce pas ?

avec Un à la place de a, c'est pareil.

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 16:07

Question 2b

Démontrer que pour tout entier naturel n : U_{n+1} - U_{n} = \frac{(3-U_{n})^2}{6-U_{n}}


\frac{9}{6-U_{n}}-U_{n} = \frac{9}{6-U_{n}}-\frac{U_{n}\times (6-U_{n})}{6-U_{n}} = \frac{9 - U_{n}\times (6-U_{n})}{6-U_{n}} = \frac{9 - 6 U_{n}\times U_{n}^2}{6-U_{n}} = \frac{3^2 - 2\times 3\times U_{n} - U_{n}^2}{6-U_{n}} = \frac{(3-U_{n})^2}{6-U_{n}}

Question 2c

En déduire que (Un) est convergente.


On sait que Un+1 croissant :
\frac{(3-U_{n})^2}{6-U_{n}} avec (3-Un)2 > 0 et 6 - Un > 0 sur l'intervalle ]-∞ ; 6[

Donc (Un) est une suite croissant et majorée par 6.

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 17:15

"on sait que (Un)  est croissante"

comment le sais tu ?  complète.

ensuite, en question 2a, tu as dit que Un<3,
et  là, tu dis qu'elle est majorée par 6 .....

rectifie ta réponse  

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 17:19

Majorée par 3, j'ai glissé sur mon clavier 😅
Pour moi on sait que (Un) est croissante car f(x)=\frac{9}{6-x} l'est (on remplace x par Un).
C'est correct ou c'est juste parce que j'ai oublié de le préciser ?

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 17:33

ah, ces claviers glissants !!

pour Un croissante, oui, c'est vrai. Il faut le préciser.
tu pourrais aussi dire que
Un+1  -  Un   est toujours positif

bonne soirée

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 21:40

Rebonjour, je rebloque encore :

Citation :
On considère la suite (Wn) définie par tout entier naturel n par W_{n} = \frac{1}{U_{n}-3}
a. Determiner la nature de la suite (Wn).
b. En déduire l'expression de Wn puis celle de Un en fonction de n.
c. Déterminer alors la limite de la suite Un


Je suis au "a" :

\large W_{n}= \frac{1}{U_{n+1}-3} = \frac{1}{\frac{9}{6-U_{n}}-3} = \frac{1}{\frac{9-3\times (6-U_{n})}{6-U_{n}}} = \frac{6-U_{n}}{9-18-3U_{n}} = \frac{6-U_{n}}{-9-3U_{n}}

Pour moi Wn est arithmétique, mais dans ce cas je sais pas quoi faire à la question "b"...

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 22:12

petite erreur de signe :  Wn+1 =  (6-Un)/(3Un -9)  =  (6-Un)/3(Un_3)

calcule   Wn+1  -  Wn
(indice : tu dois trouver que c'est égal à  -1/3, tu peux donc conclure pour répondre à la question a, puis b).

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 22:41

Je recorrige mes petites fautes :

A.
\large W_{n+1}= \frac{1}{U_{n+1}-3} = \frac{1}{\frac{9}{6-U_{n}}-3} = = \frac{1}{\frac{9-3\times (6-U_{n})}{6-U_{n}}} = \frac{6-U_{n}}{9-18+3U_{n}} = \frac{6-U_{n}}{-9+3U_{n}} = \frac{6-U_{n}}{3(U_{n}-3)}

\large W_{n+1} - W_{n} = \frac{6-U_{n}}{3(U_{n}-3)} - \frac{1}{U_{n}-3} = \frac{6-U_{n}}{3(U_{n}-3)} - \frac{3}{3(U_{n}-3)} = \frac{6-U_{n}-3}{3(U_{n}-3)} = \frac{3-U_{n}}{3(U_{n}-3)} = \frac{-(U_{n}-3)}{3(U_{n}-3)} = \frac{-1}{3}


Donc Wn est une suite géométrique de raison \frac{-1}{3}.

B.
\large W_{0} = \frac{1}{U_{0}-3} = \frac{1}{1-3} = \frac{1}{-2} = -0,5

\large W_{n} = -0,5 \times \frac{-1}{3}^{n}

Sachant que \large W_{n}= \frac{1}{U_{n}-3} : (je suis vraiment pas sûr de celle là)

\huge U_{n} = \frac{1}{W_{n}+3} = \frac{1}{-0,5\times \frac{-1}{3}^{n}+3} = \frac{1}{\frac{1,5^{n}\times (-1)^{n}+3^{n}}{3^{n}}} = \frac{3^{n}}{1,5^{n}\times (-1)^{n}+3^{n}}

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 17-10-21 à 23:39

(Wn)  est une suite arithmétique de raison r=-1/3

W0 = -1/2   on est d'accord

Wn =  -1/2  - 1/3  *n   =  -1/2 - n/3


rectifie ta réponse pour Un

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 18-10-21 à 00:31

Citation :
b. En déduire l'expression de Wn puis celle de Un en fonction de n.

\large W_{0} = \frac{1}{U_{0}-3} = \frac{1}{1-3} = \frac{1}{-2} = -0,5

\large W_{n} = \frac{-1}{2} - \frac{1}{3}\times n = \frac{-1}{2} - \frac{n}{3}

Sachant que \large W_{n}= \frac{1}{U_{n}-3} :

\large U_{n} = \frac{1}{W_{n}+3} = \frac{1}{\frac{-1}{2} - \frac{n}{3}} = \frac{1}{\frac{-3+2n}{6}} = \frac{6}{-2n+3}

Citation :
c. Déterminer alors la limite de la suite Un

\lim\limits_{n \to +\infty} 6 = 6

\lim\limits_{n \to +\infty} -2n+3 = -\infty

\lim\limits_{n \to +\infty} U_{n} = \frac{6}{-\infty} = 0

Posté par
Maxeuhre : Démontrer que Un+1-Un 18-10-21 à 00:53

Oups...

Citation :
b. En déduire l'expression de Wn puis celle de Un en fonction de n.

\large W_{0} = \frac{1}{U_{0}-3} = \frac{1}{1-3} = \frac{1}{-2} = -0,5

\large W_{n} = \frac{-1}{2} - \frac{1}{3}\times n = \frac{-1}{2} - \frac{n}{3} = \frac{-3-2n}{6}

Sachant que \large W_{n}= \frac{1}{U_{n}-3} :

\large U_{n} = \frac{1}{W_{n}+3} = \frac{1}{\frac{-3-2n}{6}+3} = \frac{1}{\frac{15-2n}{6}} = \frac{6}{15-2n}

Citation :
c. Déterminer alors la limite de la suite Un

\lim\limits_{n \to +\infty} 6 = 6

\lim\limits_{n \to +\infty} 15-2n = -\infty

\lim\limits_{n \to +\infty} U_{n} = \frac{6}{-\infty} = 0

Posté par
bernardo314re : Démontrer que Un+1-Un 18-10-21 à 13:09

Bonjour,

ça ne te semble pas bizarre qu'une suite croissante positive tende vers 0 ?

Posté par
Leilere : Démontrer que Un+1-Un 18-10-21 à 16:44

bonjour Maxeuh,

en début d'exercice, tu as dit que (Un) était majorée par 3 et qu'elle est croissante..
Tu peux te douter que la limite de (Un) sera égale à 3, et non à 0, n'est ce  pas ?
tu écris

Sachant que \large W_{n}= \frac{1}{U_{n}-3}

\large U_{n} = \frac{1}{W_{n}+3}
ça c'est faux..

tu aurais dû écrire
sachant que \large W_{n}= \frac{1}{U_{n}-3}
\large U_{n} - 3 = \frac{1}{W_{n}}
et  \large U_{n} = \frac{1}{W_{n}} + 3
ce qui est différent de ce que tu as écrit ...

rectifie ta réponse !


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