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Niveau seconde
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Demontrer une égalité (a² + b²)(c²+d²) = ...

Posté par
casiofx 30-09-07 à 13:10

Bonjour et bon appétit à tous !

Comment démontrer cette égalité ? :

(a² + b²)(c²+d²) = (ac+bd)² + (ad-bc)²

J'ai commencé par développer :

  (a² + b²)(c²+d²)
= a² * c² + a² * d² + b² * c² + b² x d²
=
=
= (ac+bd)² + (ad-bc)²

Et la je n'y arrive plus

peut être que :

  a² * c² + a² * d² + b² * c² + b² x d²
= (a*c)² + (ad)² ... ?

Posté par
cvaDemontrer une égalité (a² + b²)(c²+d²) = ... 30-09-07 à 13:23

Bonjour

on développe (ac+bd)² + (ad-bc)²et en utilisant les identités

(p+q)^2=p^2+2pq+q^2et (p-q)^2=p^2-2pq+q^2

on trouve:a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2(1) Je vous laisse le soin de le vérifier

ensuite on factorise (1)

on a a^2(c^2+d^2)+b^2(d^2+c^2)

d'où (a^2+b^2)(c^2+d^2)

Bon courage

Posté par
casiofxre : Demontrer une égalité (a² + b²)(c²+d²) = ... 30-09-07 à 16:08

Merci pour votre aide

Pour ce qui est de la factorisation, comment partir de a²(c²+d²)+b²(d²+c²) et arriver à (a²+b²)(c²+d²) ?

Posté par
cvare : Demontrer une égalité (a² + b²)(c²+d²) = 30-09-07 à 16:58

Bonjour

on trouve a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2qui peut s'écrire:

a^2c^2+a^^2d^2+b^2d^2+b^2c^2

on met a^2et b^2 en facteurs on obtient :

a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)

on peut à nouveau factoriser par c^2+d^2

et on a :(c^2+d^2)(a^2+b^2)

Cordialement

Posté par
casiofxre : Demontrer une égalité (a² + b²)(c²+d²) = ... 30-09-07 à 17:28

Merci je n'arrivais pas à comprendre cette phase.

Bonne fin de journée !

Posté par
MMarjanire : Demontrer une égalité (a² + b²)(c²+d²) = ... 31-03-10 à 13:45

Salut ;

Tu peux remarquer que :

(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
En ajoutant 2abcd et supprimant 2abcd tu va trouver que :
(a²+b²)(c²+d²)=a²c²+a²d²+2abcd+b²c²+b²d²-2abcd
Donc : (a²+b²)(c²+d²)= (ac+bd)²+(ad-bc)²
Au plaisir


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