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Niveau Reprise d'études
Dénombrable, indénombrable, fini, infini...
Posté par Supradyn
Bonjour,
Je viens vous voir aujourd'hui car je suis complètement perdue avec les notions "dénombrable", "indénombrable", "fini" et "infini". Je n'y comprends vraiment plus rien.
Le problème est que, apparemment, il existe deux définitions de la dénombrabilité. La première définition, celle de Cantor, me pose déjà problème puisqu'elle stipule que "un ensemble E est dit dénombrable quand il existe une bijection entre l'ensemble des entiers naturels et E". Or,
est, si j'ai bien compris, un ensemble infini.
Mais intuitivement, comment un ensemble infini peut-il être dénombrable?? Est-ce qu'on ne devrait pas dire qu'un ensemble infini n'est pas dénombrable, histoire de ne pas se mélanger les pinceaux? 
De la même manière, "un ensemble fini est un ensemble qui possède un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire qu'il est possible de compter ses éléments, le résultat étant un nombre entier". Donc j'imagine qu'il est possible de dénombrer les éléments d'un ensemble fini, et donc pour moi, un ensemble fini est toujours dénombrable...
Bref, je ne trouve pas cela logique. Je ne comprends pas quelle définition de la dénombrabilité il faudrait utiliser pour s'en sortir, et je ne comprends pas pourquoi cela est si compliqué. Pourquoi tant de haine envers les étudiants?... 
Si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne... j'apprécierais énormément et ce serait fort gentil 
Bonsoir :
Effectivement la definition que tu as rappelé de denombrable est correcte : d'une maniere simple, on peut compter ses elements....
Infini : as tu un nombre entier plus grand que tous les autres ?
par contre , peux tu compter tous les points d'un segment?
Il y a deux définitions en mathématiques de la dénombrabilité, et qui ne sont pas équivalentes : 
A titre personnel, je suis pour les définitions suivantes :
est un cardinal fini
"fini = en bijection avec un cardinal fini"
"dénombrable = qui est en bijection avec 
(c'est la définition de Cantor)"
"non dénombrable = qui n'est ni fini, ni dénombrable, donc au moins équipotent à 
(d'après l'hypothèse du continu)"
"infini = qui contient au moins une partie dénombrable"
bonsoir jsvdb
Je pense qu'il voulait une traduction simple de ces définitions qu'il a dans son cours....
Bon, alors, simplement, en suivant Cantor :
fini = qui est en bijection avec un ensemble {0, 1, 2, ... , N} avec N 
dénombrable = qui est en bijection avec
indénombrable = qui n'est pas des deux précédentes catégories.
Bonsoir,
Merci pour vos réponses rapides!
Les définitions que j'ai utilisées venaient de wikipédia ; nous n'avons pas encore vu ces notions en cours mais cela fait longtemps que je mélange tout... aujourd'hui je comprends mieux pourquoi je mélangeais tout.
La dernière réponse de jsvdb résume très bien les choses, alors un grand merci Mais je ne comprends vraiment pas pourquoi Cantor a défini la dénombrabilité ainsi. C'est tellement contre-intuitif, puisque contient un nombre infini d'éléments...
Mais j'imagine qu'on ne peut pas donner de réponse quant au pourquoi de la définition de Cantor...
J'espère que nous verrons rapidement ces notions en cours, histoire de savoir quelle définition adopter pour de bon. Encore merci en tout cas, ça m'aide déjà un peu à m'y retrouver (bien que ça me fasse aussi perdre un peu de mon français... dans le sens où "dénombrable" n'a pas du tout le même sens en maths que dans le langage courant).
PS: Je remarque que la version anglaise de l'article de Wikipédia utilise moins la définition de Cantor... je vais peut-être me plonger davantage dans la lecture de cet article demain, peut-être que ça me semblera plus clair dans une autre langue! 
Supradyn @ 08-10-2016 à 22:55
Mais j'imagine qu'on ne peut pas donner de réponse quant au pourquoi de la définition de Cantor
Mais j'imagine qu'on ne peut pas donner de réponse quant au pourquoi de la définition de Cantor
C'est tout un travail de réflexion qui a pris des années. Inutile de te dire qu'il est impossible de le résumer ici. Mais si ça t'intéresse, tu peux toujours lire les notes historiques de Bourbaki, Théorie des ensembles, E IV.60.
Je précise que Bourbaki et Cantor s'opposent sur ce sujet : voir Théorie des ensembles, E IV.60:
Définition 3.
On dit qu'un ensemble est dénombrable s'il est équipotent à une partie de l'ensemble
des entiers.
Autrement dit, pour Bourbaki, dénombrable = fini ou dénombrable au sens de Cantor.
Alors, pour différencier ces deux notions sous le même vocable, on a trouvé un intermédiaire, on dit dénombrable (pour dénombrable au sens de Cantor), ou, au plus dénombrable pour le dénombrable au sens de Bourbaki. ce ne sont que des définitions. Le tout est de savoir de quoi l'on parle.
salut
dénombrable signifie simplement qu'on peut compter (ou dénombrer)
il n'y a donc que deux catégories d'ensembles :
ceux qu'on ne peut pas dénombrer :
l'ensemble des réels, l'ensemble des réels du segments [0, 1], l'ensemble des fonctions continues de R dans R, l'ensemble des parties de N, ...
ceux qu'on peut dénombrer :
il y a deux cas :
ceux qu'on dénombre en s'arrêtant : l'ensemble constitué des humains par exemple et plus généralement tout ensemble fini (qui est en bijection avec une partie finie de N)
ceux qu'on dénombre en ne s'arrêtant pas : les rationnels de [0, 1], les entiers multiples de 2, ... donc tout ensemble infini (dénombrable) en bijection avec N (ou une partie infinie de N)
c'est ainsi qu'on démontre qu'il y a autant e multiples de 2 que de 3
l'application est bijective et sa réciproque est la fonction
une définition minimaliste : un ensemble E est (au plus) dénombrable s'il existe une injection de E dans N ("il n'y a pas plus d'éléments dans E que dans N") (ou s'il existe une surjection de N dans E (N a "plus" d'éléments que E))
au plus dénombrable :<=> dénombrable fini ou dénombrable infini
il me semble que c'est relativement simple et clair ...
mais ensuite quand on creuse et qu'on regarde d'un peu plus près les choses comme l'ensemble de Cantor on voit que ça devient très vite compliqué pour reconnaître si un ensemble est dénombrable ou pas ... mais ceci est un autre problème ...
Bonjour,
Encore merci pour vos nouvelles réponses
Pour philgr22: parce que, pour moi, les maths ne sont déjà pas faciles à la base... donc si même les mathématiciens ne sont pas d'accord entre eux sur "comment définir tel ou tel concept", ça ne facilite pas les choses pour les étudiants qui ont déjà des difficultés à comprendre des choses "basiques". 
Pour jsvdb: Merci beaucoup pour ces éclaircissements, c'est intéressant de se dire que certains mathématiciens ne sont pas d'accord entre eux... moi qui pensais que les maths étaient toujours "comme ça et pas autrement"...!
Pour carpediem: Merci beaucoup pour vos explications, en particulier l'exemple qui explique qu'il y a autant de multiples de 2 que de 3. C'est perturbant mais assez clair comme vous dites.