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Dénombrement

Posté par
abxkl 07-01-17 à 18:52

Bonsoir,

Je suis sur un exercice qui me donne pas mal de fil à retordre, voici l'énoncé:

ÉNONCÉ : Soit E l'ensemble des mots de longueur 7 dont les 7 lettres sont prises dans l'ensemble des 26 lettres de l'alphabet latin

a°) Déterminer le cardinal de E.
b°) Déterminer le nombres de mots ayant toutes les lettres différentes.
c°) Déterminer le nombres de mots contenant au moins  4 fois la lettre K.
d°) Déterminer le nombres de mots contenant 2 voyelles exactement.
e°) Déterminer le nombres de mots contenant 2 voyelles exactement et différentes.
f°)  Déterminer le nombre de mots pour lesquels 2 lettres distinctes se répètent au moins 3 fois.
__________________________________________________

a°) 7 emplacements pouvant contenir 26 lettres chacun, donc 26^{7}

b°) Je pense que cela revient à faire 7 parmi 26(tous les mots de 7 lettres quand on dispose d'un alphabet de 26 caractères), donc : \frac{26!}{7!19!}

c°) Ici je me suis dit qu'il fallait négliger dans un premier temps les 4 emplacements pris par K,  il reste donc 3 emplacements qui n'ont aucune condition : 26^{3}
       Il faut ensuite tenir compte de l'ordre des lettres, on recherche donc les combinaisons possibles des 4 emplacements contenant K  parmi les 7 emplacements possibles donc : \frac{7!}{4!3!}
        Donc :  26^{3} × \frac{7!}{4!3!}

d°) La question me semble similaire à la c°), on veut 5 emplacements avec des consonnes uniquement donc : 20^{5}
        On veut ensuite deux emplacements avec des voyelles, donc : 6^{2}
        Nous prenons compte du nombre de combinaisons possibles : \frac{7!}{2!5!}
         On a alors :  20^{5}×6^{2}× \frac{7!}{2!5!}

e°) Je pense qu'il suffit de reprendre la réponse de la  d°) et que l'on remplace 6^{2} par \frac{6!}{2!3!} (car nous voulons toutes les combinaisons possibles des voyelles dans deux emplacements)
         Donc :  20^{5}× \frac{6!}{2!3!}× \frac{7!}{2!5!}

f°) Et là c'est le drame, je suis en galère complète
Mon idée de départ était de réduire le mot à 6 emplacements possibles pour enlever le caractère sans condition, mais cela fausserait le nombre de combinaison possible
Je pense maintenant à deux triplets que l'on doit faire "bouger" dans les 7 emplacements possibles, ça donnerait quelque chose du genre : \frac{7!}{3!3!}× 26

Si vous avez des pistes à me fournir je suis preneur

Merci, bonne soirée

Posté par
veledare : Dénombrement 07-01-17 à 19:18

bonsoir,
1) c'est d'accord
2)quand tu as 7 lettres distinctes tu peux former 7! mots

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dénombrement 07-01-17 à 19:24

Bonsoir,
Pour c) je pense que tu donne deux rôles différents aux 4 premiers K et aux éventuels autres K.
Je ne vois pas d'autres manières que d'envisager tous les cas (sans jeu de mots ).
Autrement dit 4 K, 5 K, 6 K, 7 K.
Sinon passer par l'événement contraire : Pas de K, 1 K, 2 K, 3 K. Bof...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dénombrement 07-01-17 à 19:28

Bonsoir veleda,
Il y a 26 lettres...
La réponse est 26252423222120

Posté par
abxklre : Dénombrement 07-01-17 à 19:55

veleda @ 07-01-2017 à 19:18

bonsoir,
1) c'est d'accord
2)quand tu as 7 lettres distinctes tu peux former 7! mots


Si je comprends bien on a donc : \frac{26!}{7!19!}×7! = 26×25×24×23×22×21×20
Autrement dit ce serait le nombre de combinaisons possibles × le nombre de permutation?

Sylvieg @ 07-01-2017 à 19:24

Bonsoir,
Pour c) je pense que tu donne deux rôles différents aux 4 premiers  K  et aux éventuels autres  K.
Je ne vois pas d'autres manières que d'envisager tous les cas (sans jeu de mots   ).
Autrement dit  4 K, 5 K, 6 K, 7 K.
Sinon passer par l'événement contraire : Pas de K, 1 K, 2 K, 3 K.  Bof...


Je pense voir ce que vous voulez dire, il faudrait du coup progressivement augmenter le nombre de K jusqu'à ce que tous les emplacements soient remplis par K ?
(   \frac{7!}{4!3!}×26^{3}+\frac{7!}{5!2!}×26^{2}+\frac{7!}{6!1!}×26^{1}+\frac{7!}{7!0!}×26^{0}  )


Merci pour vos réponses

Posté par
jsvdbre : Dénombrement 07-01-17 à 19:58

Bonsoir abxkl

Pour f), je dirai que les mots sont de deux sortes :

1/ Ceux de deux lettres distinctes (l'une est répétée 4 fois, l'autre 3)
Donc 26 x 27 x le nombre de combinaison de ce deux lettres dans le mot de 7 lettres.

2/ Ceux de trois lettres distinctes (une est trois fois, une autre est trois fois, et une troisième distincte)
Donc 26 x 27 x le nombre de combinaison de ce deux lettres dans un mot de 6 lettres x 25

On additionne les deux et on divise par 26^7

Posté par
jsvdbre : Dénombrement 07-01-17 à 20:00

Pas de combinaison, mais d'arrangements, car pour une lettre donnée, l'ordre n'a pas d'importance.

Posté par
abxklre : Dénombrement 07-01-17 à 20:45

jsvdb @ 07-01-2017 à 19:58

Bonsoir abxkl

Pour f), je dirai que les mots sont de deux sortes :

1/ Ceux de deux lettres distinctes (l'une est répétée 4 fois, l'autre 3)
Donc 26 x 27 x le nombre de combinaison de ce deux lettres dans le mot de 7 lettres.

2/ Ceux de trois lettres distinctes (une est trois fois, une autre est trois fois, et une troisième distincte)
Donc 26 x 27 x le nombre de combinaison de ce deux lettres dans un mot de 6 lettres x 25

On additionne les deux et on divise par 26^7


Excusez moi j'ai peur de ne pas vous suivre, si on opère dans E et que l'on divise notre résultat par le cardinal de  l'ensemble, on va obtenir quelque chose compris entre  0 et 1 non ?

jsvdb @ 07-01-2017 à 20:00

Pas de combinaison, mais d'arrangements, car pour une lettre donnée, l'ordre n'a pas d'importance.


C'est vrai merci, je ne faisais pas la différence entre les deux

Merci de votre réponse

Posté par
verdurinre : Dénombrement 07-01-17 à 21:50

Bonsoir,
je suis d'accord avec Sylvieg.
Le c°) est faux : la combinaison KKKKKKK est comptée plusieurs fois.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dénombrement 08-01-17 à 10:50

Bonjour,
Je vais répondre au message deabxkl hier à 19h55. Cela va être un peu long et indigeste
Tout d'abord, une petite précision de vocabulaire :
Le mot combinaison s'utilise pour désigner un choix où l'ordre n'intervient pas.

Ici, l'ordre intervient. KKOPKDR n'est pas le même mot que KPOKRDK.
\frac{26!}{7!19!} est le nombre de manières de choisir 7 lettres distinctes parmi 26. Se dit aussi "7 parmi 26".
Une fois choisies les 7 lettres distinctes, il faut les ranger.
Par exemple, avec les lettres du mot VERDUIN , on peut écrire DEINRUV ou NUDIVRE .
Il y a 7! anagrammes du mot VERDUIN .

Autre manière d'obtenir le même résultat :
Il y a 7 cases à remplir. Avec 26 choix pour la première case ; il ne reste que 25 choix pour la seconde case ; 24 pour la troisième...
D'où mon 26252423222120

Quand les lettres ne sont pas toutes distinctes, ça peut être un peu plus compliqué.
Je détaille pour les mots où le nombre de K est 3 :
Avec la méthode des 7 cases à remplir, on choisit les 3 cases où il y aura des K.
Il y a "3 parmi 7" manières de les choisir.
Ensuite, on remplit les 4 cases restantes avec des lettres qui ne sont pas des K.
25 choix pour chacune des 4 cases.
D'où (_3^{7})254 mots de 7 lettres avec exactement 3 K .

Posté par
abxklre : Dénombrement 08-01-17 à 15:27

Bonjour,

verdurin @ 07-01-2017 à 21:50

Bonsoir,
je suis d'accord avec Sylvieg.
Le c°) est faux : la combinaison KKKKKKK est comptée plusieurs fois.


Sylvieg @ 08-01-2017 à 10:50

Bonjour,
Je vais répondre au message deabxkl  hier à 19h55. Cela va être un peu long et indigeste
Tout d'abord, une petite précision de vocabulaire :
Le mot combinaison s'utilise pour désigner un choix où l'ordre n'intervient pas.

Ici,  l'ordre intervient.  KKOPKDR  n'est pas le même mot que  KPOKRDK.
\frac{26!}{7!19!}  est le nombre de manières de choisir  7  lettres distinctes parmi  26.  Se dit aussi  "7 parmi 26".
Une fois choisies les 7 lettres distinctes, il faut les ranger.
Par exemple, avec les lettres du mot   VERDUIN  , on peut écrire  DEINRUV  ou  NUDIVRE .
Il y a   7!   anagrammes du mot   VERDUIN .

Autre manière d'obtenir le même résultat :
Il y a  7 cases à remplir. Avec  26  choix pour la première case ;  il ne reste que 25 choix pour la seconde case ; 24 pour la troisième...
D'où mon  26252423222120

Quand les lettres ne sont pas toutes distinctes, ça peut être un peu plus compliqué.
Je détaille pour les mots où le nombre de  K  est  3 :
Avec la méthode des 7 cases à remplir, on choisit les 3 cases où il y aura des K.
Il y a "3 parmi 7" manières de les choisir.
Ensuite, on remplit les 4 cases restantes avec des lettres qui ne sont pas des K.
25 choix pour chacune des 4 cases.
D'où    (_3^{7})254   mots de 7 lettres avec exactement  3 K .




Aaah! Je pense avoir compris :

Si on prend un jeu de cartes avec 26 éléments et que l'on veut le nombre de mains possibles (on pose une main = 7 cartes), il existera ainsi  \frac{26!}{7!19!} mains ( l'ordre des cartes n'ayant aucune importance sur l'influence qu'elles auront sur le jeu)

En revanche si on prend 26 coureurs et que l'on veut le nombre de podiums possibles ( on pose un podium de 7 places), on aura alors  \frac{26!}{7!19!}×7! possibilités ( l'ordre d'un coureur dans le podium étant déterminante dans le nombre de podium existants )

Bon en me relisant ça fait brouillon mais j'ai saisi  


Concernant la c°), j'ai en effet compté KKKKKKK beaucoup trop de fois, ceci devrait être mieux :

\frac{7!}{4!3!}*25^{3}+\frac{7!}{5!2!}*25^{2}+\frac{7!}{6!1!}*25^{1}+\frac{7!}{7!0!}*25^{0}


Merci pour vos réponses

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dénombrement 08-01-17 à 18:06

Oui, c'est ça

Quelques indications pour les autres questions :

d) de ton premier message est bon.

Pour e), remplacer le 62 du d) par le nombre de manières de choisir 2 voyelles distinctes l'une après l'autre ; l'ordre intervient car AEGHJKL est différent de EAGHJKL .

Pour f) , il y a effectivement 2 cas comme décrits par jsvdb.
Pour le cas avec deux lettres distinctes, on peut commencer par chercher le nombre de mots avec 4 lettres A et 3 lettres B .
Puis multiplier par le nombre de manières de choisir les deux lettres.
On peut préférer choisir d'abord les deux lettres, puis les placer.

Bon courage.

Posté par
abxklre : Dénombrement 08-01-17 à 19:16

Sylvieg @ 08-01-2017 à 18:06

Oui, c'est ça  

Quelques indications pour les autres questions :

d) de ton premier message est bon.

Pour e), remplacer le  62  du d) par le nombre de manières de choisir 2 voyelles distinctes l'une après l'autre ; l'ordre intervient car  AEGHJKL  est différent de  EAGHJKL .

Pour f) , il y a effectivement 2 cas comme décrits par jsvdb.
Pour le cas avec deux lettres distinctes, on peut commencer par chercher le nombre de mots avec 4 lettres  A  et 3 lettres  B .
Puis multiplier par le nombre de manières de choisir les deux lettres.
On peut préférer choisir d'abord les deux lettres, puis les placer.

Bon courage.


Ok super merci , je pense pouvoir terminer l'exercice sans trop difficulté maintenant


Merci à tout le monde pour votre aide!
Bonne soirée


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