Bonjour tout le monde, j'aurais besoin de votre aide,

Pour tout n *, on note J_n l'ensemble des permutations de [|1, n|] telles que:

5.
= Cardin²=Id_[|1,n|]. On pose:
i_n=CardJ_n pour tout n ≥ 1 et on pose par ailleurs :i₀=1.

1. Déterminer i₁ et i₂.

2. Montrer que pour tout n :
i_n+2= i_n+1+ (n+1)i_n.

Indication : Pour Jⁿ⁺², on pourra s'intéresser à l'image de n + 2 par .

Pour tout n, on pose:
a_n=i_n/n! et,
P_n(X)=


3. a) Déterminer une relation de récurrence entre a_n, a_n+1et a_n+2pour tout n.

b) En déduire que pour tout n :

P'_n+2=XP_n+ P_n+1.

4. Déterminer l'unique fonction C(IR, IR) telle que
(0) = 1 et pour tout x :
'(x)=(x+1)(x)

On note (b_k)_k la suite des coefficients du développement limité de au voisinage de 0 de sorte que pour tout
n:

(x)=

5. Montrer que pour tout n E N :
(n + 2)bn+2 = bn + bn+1
puis que :

(n+2)b_n+2=b_n+b_n+1 puis que a_n=b_n

6. En déduire que pour tout n :

i_n=


Indication : Commencer par écrire p comme le produit de deux fonctions.

Voilà j'ai du mal à faire la récurrence à la question 2, pour l'hérédité.