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Niveau maths sup
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dénombrement

Posté par
Mariondumont
09-04-22 à 09:51

bonjour,
voici l'énoncé de l'exercice:
soit E un ensemble fini, σ une permutation de E,  on considérant l'application f: SE kk
montrer qu'il existe n* tel que n=Id.

l'énoncé me semble assez évident, c'est la définition d'ordre d'une permutation, mais je n'arrive pas à en faire une démonstration formelle.

merci d'avance pour votre temps.

Posté par
GBZM
re : dénombrement 09-04-22 à 11:36

Bonjour,

Ton titre est trompeur : il n'y a pas de dénombrement dans ta question.
Tu peux utiliser le fait que l'ensemble des permutations de E est fini et le principe des tiroirs : quand on range une infinité d'objets dans un nombre fini de tiroirs ...

Posté par
Mariondumont
re : dénombrement 09-04-22 à 14:57

tout d'abord excusez moi pour la confusion sur le titre l'exercice fait partie de mon cours sur le dénombrement.

le théorème des tiroirs nous dit donc qu'il y aura plusieurs éléments dans un seul "tiroir" mais je ne parvient pas à montrer alors l'identité.

Posté par
GBZM
re : dénombrement 09-04-22 à 18:21

Citation :
il y aura plusieurs éléments dans un seul "tiroir"
Écris explicitement ce que ça veut dire. Quelle forme ont ces "plusieurs éléments" ?

Posté par
Mariondumont
re : dénombrement 09-04-22 à 18:56

le nombre de permutations est finis alors que les entiers k sont infinie.
de plus les permutations sont des bijections donc l'espace de départ et l'espace d'arrivé ont le même nombre d'éléments.
donc on rajoute dans l'espace d'arrivé le neutre du groupe qui est dans ce cas la fonction identité ?

Posté par
ty59847
re : dénombrement 09-04-22 à 22:39

Ton dernier message, il est très très bizarre.

On a un ensemble. Par exemples n cartes de couleurs différentes posées en rang sur une table.
On applique une permutation, puis à nouveau la permutation, etc etc ; à un moment, on va bien finir par retomber sur une disposition déjà rencontrée, parce que ...
Cqfd.
Ok, il faut encore mettre un peu de formalisme. Mais c'est l'idée.

Posté par
GBZM
re : dénombrement 09-04-22 à 22:40

Non, tu n'as pas écrit explicitement ce que donne le principe des tiroirs et ce que tu as écrit à la place n'a pas vraiment de sens.

Posté par
Mariondumont
re : dénombrement 10-04-22 à 09:10

ty59847 @ 09-04-2022 à 22:39



On a un ensemble. Par exemples n cartes de couleurs différentes posées en rang sur une table.


donc si j'ai bien compris, cela donnerait
SE a un nombre p d'éléments fini, un nombre infini, donc par le principe des tiroirs, il existe i,j[1,p] tel que f(i)=f(j)
d'où i=j
or est une application bijective donc en supposant i>j  
i-j=id

Posté par
GBZM
re : dénombrement 10-04-22 à 10:43

Voila.
Tu aurais dû ajouter dans ta phrase "Il existe i,j .." la mention importante "avec i\neq j".

Posté par
Mariondumont
re : dénombrement 10-04-22 à 11:20

d'accord !
merci beaucoup pour votre temps.

Posté par
GBZM
re : dénombrement 10-04-22 à 11:38

Avec plaisir



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