Niveau Reprise d'études

Dénominateur rationnel

Posté par
Flouz78 04-07-21 à 23:23

Bonsoir les membres de l'île

Je souhaite obtenir un dénominateur rationnel pour :

$\frac{\sqrt{3-\sqrt{2}}}{\sqrt{3+\sqrt{2}}}$

J'ai procédé ainsi :

= $\frac{\sqrt{3-\sqrt{2}}\sqrt{3+\sqrt{2}}}{3+\sqrt{2}}$

= $\frac{\sqrt{3-\sqrt{2}}\sqrt{3+\sqrt{2}}(3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}$

Dans l'identité remarquable a^2 = 9 et b^2 = 2

= $\frac{\sqrt{3-\sqrt{2}}\sqrt{3+\sqrt{2}}(3-\sqrt{2)}}{9-2}$

Le dénominateur = 7, ça y a pas de soucis, par contre le numérateur me pose problème, comment je peux le simplifier ?
Merci, bonne soirée à vous

Posté par re : Dénominateur rationnel 04-07-21 à 23:29

Bonjour
tu peux utiliser pour les deux premières longues racines la propriété "produit des racines = racine du produit", et la même identité remarquable que celle déjà utilisée

Posté par re : Dénominateur rationnel 04-07-21 à 23:49

Super merci !

Pour le numérateur j'ai donc :

$\sqrt{3-\sqrt{2}}\sqrt{3+\sqrt{2}}(3-\sqrt{2)}$

= $\sqrt{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}(3-\sqrt{2})$

= $\sqrt{9-2}(3-\sqrt{2})$

= $\sqrt{7}(3-\sqrt{2})$

= $3\sqrt{7}-\sqrt{7\times 2}$

= $3\sqrt{7}-\sqrt{14}$

Voilà je peux me coucher tranquille

Posté par re : Dénominateur rationnel 05-07-21 à 07:25

Bonjour,

puisque l'exercice est terminé, je me permets de donner une autre piste

$\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{2}}}{\sqrt{3+\sqrt{2}}}=\sqrt{\dfrac{{3-\sqrt{2}}}{3+\sqrt{2}}}$

en multipliant haut et bas par $3-\sqrt{2}$ il vient

$\sqrt{\dfrac{{(3-\sqrt{2}})^2}{9-2}}=\dfrac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}(3-\sqrt{2})}{7}=\dfrac{3\sqrt{7}-\sqrt{14}}{7}$