Niveau Reprise d'études

Densité

Posté par Shipz 01-11-23 à 21:42

Bonsoir !!

Je considère, pour tout $\epsilon>0$ et tout n entier naturel, l'ensemble $F_{\epsilon,n}:=\{f\in E, \forall x\in [0;1], \exists y\in [0;1], 0<|y-x|<\epsilon, |\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|>n\}$ , avec $E=(C([0;1],\mathbb{R})$ .

Le but est de montrer que ces ensembles sont des ouverts denses dans $E$ .

J'ai réussi à montrer qu'ils sont ouverts dans $E$ , en passant par le complémentaire.

Pour montrer qu'ils sont denses, l'indication est la suivante : montrer que la fonction nulle est un élément de cet ensemble.
Bon, je ne vois pas pourquoi. Si c'était le cas, on obtientrait que $\forall x\in [0;1], \exists y\in [0;1], 0<|y-x|<\epsilon, n<0$ .
Je dois manquer quelque chose.

Par ailleurs, en quoi cela permet-il de montrer que ces ensembles sont denses dans $E$ ?

Voilà, je patoge pas mal là.
Merci pour votre aide !

Posté par re : Densité 01-11-23 à 23:17

J'oublie de préciser que E est muni de la norme infini, ce qui en fait un espace vectoriel complet.

Posté par re : Densité 01-11-23 à 23:17

Du coup, espace complet et ensemble fermé, ça sent Baire tout ça, mais je ne comprends pas cette indication.

Posté par re : Densité 02-11-23 à 10:18

Bonjour Shipz, je pense qu'on essaye de te faire démontrer que l'ensemble des fonctions continues nulle part dérivables est dense dans E.

J'avoue ne pas comprendre l'indication, aussi je te propose d'utiliser plutôt la densité des polynômes dans E (théorème de Weierstrass). Pour $\varepsilon, n$ fixés, on se donne un élément f de E, un polynôme P "proche" de f par densité et on essaye de fabriquer une fonction affine par morceaux g telle que P + g appartienne à $F_{\varepsilon, n}$ mais aussi telle qu'elle soit "proche" de f (au sens de la norme infinie).

Posté par re : Densité 02-11-23 à 10:19

Au passage, je trouve que la notation "F epsilon n" est peu adaptée dans le cas où ce sont des ouverts, mais c'est juste un détail esthétique.

Posté par re : Densité 02-11-23 à 11:24

Bonjour Rintaro, et merci pour ta réponse.
D'accord, je comprends l'idée. On montre que tout élément f de E est limite uniforme d'une suite de fonctions de l'ensemble considéré.
L'uniforme continuité et le fait que f soit continue fait donc penser au théorème d'approximation de Weierstrass. Par contre, je ne vois pas bien d'où vient l'idée de construire cette fonction affine par morceaux g...

Sinon oui, tu as raison, la notation F n'est pas la plus adéquate