Bonjour

On veut montrer que pour tout rationnels x et y :


Il suffit de prendre


Jord

Pourquoi ais-je pensé à faire cela ? Eh bien j'ai juste pensé à la stabilité de l'addition dans et à la moyenne arithmétique (même idée que pour trouver le milieu d'un intervalle)


Jord

Ne serait-ce pas la densité de dans : c'est-à-dire l'adhérence de dans est tout entier ??
Tout élément de est limite d'une suite de rationnels .

Salut N_comme_Nul

Il y a les deux sortes de densités , celle de dans et celle de tout cours .

De la maniére dont est formulé la question je pense qu'il pense de celle de tout cours que je viens de démontrer

De toute façon la premiére est aussi simple à démontrer en utilisant le fait que R soit archimédien


Jord

Désolé de ne pas etre assez clair dans la question, mais ce que j'en parle c'est la densité de Q dans R, et ma question est: qui est le premier mathématicien qui a trouvé cette demonstration et comment il a pensé à la faire.

Forcémment si je ne lis pas les questions correctement

Alors ça désolé mais je ne sais pas qui a trouvé la démonstration , désolé

Sinon est ce que vous connaissez un site ou un bouquin qui s'interresse à ce genre de question cad qui est le premier a trouvé une demonsatration d'un theoreme et  comment il reussi a trouver car je trouve assez instructif de savoir comment proceder pour trouver ces demonstration fascinantes.

"Il y a les deux sortes de densités , celle de Q dans R et celle de Q tout court"

Ah bon? C'est quoi les deux formes de densité?
Sinon montrer que qu'entre deux rationnels il en existe un autre ne démontre pas la densité de Q dans R.
Un exemple simple, tu prends
A=Q([0,1/3)(2/3,1])

Entre deux éléments de A il en existe un troisième, mais A n'est pas dense dans [0,1]. Je pense qu'il faudrait ajouter une hypothèse de connexité pour que ce soit vrai.


Pour répondre à la question d'origine, je pense que ca doit être Cauchy ou Dirichlet, ou un gars de cette époque qui cherchait à tout reformaliser. Etant donné que Cauchy a été l'un des premiers à formaliser la complétion de Q, et étant donné qu'une fermeture et une complétion sont relativement proche...
Celà étant je ne suis pas certain de ce que j'avance.
A+

Salut otto

La différence entre les deux est que pour celle de Q dans R , x et y sont deux réels et celle de Q tout cours , ce sont deux rationnels


Jord

T'as trouvé çà ou?
Je ne pense pas que ce soit une notion qui existe...

Re

J'ai trouvé ça dans mon livre d'algébre MPSI pour la densité de Q . Et j'ai trouvé la densité de Q dans R (la plus connue) dans mon livre d'analyse


Jord

Peux tu me donner les définitions ainsi que les références des bouquins s'il te plait, je suis toujours aussi sceptique...

Re

Alors les deux bouquins sont de la série j'intégre de Jean Marie Monier

Voir image ci-jointe

Salut,
c'est bizarre, je n'ai jamais entendu parler de ça, et je ne vois pas quel intéret ca a.
Dans mon exemple A est donc bien une partie dense au sens du Monier, et n'est cependant pas dense dans [0,1]
Bizarre, je pense qu'il a du fumer un truc pas clair ...
Je vais me renseigner dans la littérature, histoire de voir si d'autres confirment ce que l'auteur racconte.
Merci des références,
A+

Trouvé sur le site de mégamaths :
Q est dense dans R
Preuve :
Si x réel et n naturel, notons [10ⁿx] la partie entiere de 10ⁿx On a [10ⁿx] 10^{^n}x <[10ⁿx]+1 donc 0x-r<1/10ⁿ en posant r= [10ⁿx]/10ⁿ   D Q

Salut,
merci de ta réponse.
En fait il y'a un problème de définition sur la densité de Q.
On dit que E est dense dans F si le plus petit fermé qui contient E est F.
Ici justement il est juste dit "Q est dense" et il n'est pas précisé dans quoi. Visiblement la définition diffère et est bizarre parce que pas compatible avec celle que je donne...

Pourquoi veux-tu faire un rapprochement entre les deux ? Ce n'est pas la même chose c'est tout .

Il y a la définition de densité dans un autre ensemble , puis la définition de densité tout court qui ne sont pas pareils.


Jord

Bonjour, la définition que j'ai est :
Soit (E,||.||) un espace vect.norme, un sous-ensemble A de E est dit dense dans E si son adhérence est égale à E. Donc dans (R,|.|), Q est dense dans R.

Sanders: la définition est bonne, on peut en fait supprimer le fait que l'on ai des espaces vectoriels, un espace topologique suffit.

Night: la raison est que je ne vois aucun interet à une telle propriété, c'est pour ca que je me pose des questions.

A+

Tu sais il y a beaucoup de propriété en maths qui n'ont pas beaucoup d'interet


Jord

Slt,
en effet la définition que donne Nightamre est assez surprenante je n'avais  jamais entendu parler d'espcae dense simplement, habituellement on parle d'espace dense dans un autre espace.

C'est pas moi , c'est le bouquin !

lol je ne voulais pas te contrarier nightamre, je me doute que tu n'en n'ai pas encore à inventer des nouvelles définition.
Même si tu es en avance il y a des limites quand même

Lol ne t'inquiéte pas tu ne m'as pas contrarié

Oui effectivement , il faudra un bon bout de temps avant qu'un éléve ait un jour à utiliser le théoréme de Nightmare.

D'ailleur à ce propos , une question me turlupine , les nouveaux théorémes démontrés de nos jours ou définitions , elles ne concernent plus que la haute cour mathématique ? Ou se peut-il qu'un jour quelqu'un trouve une définition dont l'étude l'entourant constitura un nouveau programme de secondaire (collége + lycée) ?


Jord

Cela dépend de l'évolution des programmes dans le secondaire,
il est certain qu'a l'université tu peux utiliser des théorèmes que des profs à toi ont démontré.
Je ne pense pas que l'évolution du programme aille dans ce sens, mais pourquoi pas.
Le problème c'est qu'en général, dans le secondaire on ne fait que des "vieilles math", et en fait même jusqu'en maîtrise je n'ai pas vraiment vu de choses qui dfataent de moins de cinquante ans.

Daccord merci bien

C'est vrai que quand je vois les dates des auteurs des théorèmes que l'on voit au collége (Pythagore , Thalés , Euclide ...) on est pas prés de voir un Nightmare se promener

_{Au fait , les oraux d'agreg sont passés ? as-tu reçu mon mail à ce sujet ?}


Jord

Oui j'ai reçu ton mail et je t'ai répondu normalement, je commence mes oraux jeudi prochain.

Ah ? bah j'ai rien reçu

Quoi qu'il en soit bon courage Tient nous au courant de tes résultats si tu le veux bien naturellement


jord

J'ai fait répondre sur ma messagerie et normalement tu aurais du avoir ma réponse, je voulais te demande rsi il y avait des resto pour manger le soir près du lycée, car j'ai pris un hotel la bas pour les 3 jours.

Oula alors il y en a pas mal , bien sur il y a un mac do juste en façe , sinon il y a des grecs un peu partout , un pizza hut au niveau de la place de RER , alors par contre des restos "normaux" je ne sais pas ....

Ok, merci quand même de toute façon j'y vais dimanche ^pour voir comment ca se passe, je ferai un petit repèrage des lieux.

je pense que vous vous prenez la tete pour rien
Q qui est dense signifie qu'il et dense sur lui meme c'est tout

J'en doute fort, puisque tout ensemble est dense relativement à lui même...

euh otto c'est faux si l'on prend N ou Z ....

Trouvé sur le site de mégamaths :
Q est dense dans R
Preuve :
Si x réel et n naturel, notons [10nx] la partie entiere de 10nx On a [10nx] 10^nx <[10nx]+1 donc 0x-r<1/10n en posant r= [10nx]/10n   D Q

POUR MOI CELA PROUVE QUE R EST DENSE DANS D NON

Ah bon, pourquoi N ne serait pas dens e dans lui même
Et idem pour Z

Bein non, si tu considères Z comme espace topologique alors il est fermé, et notamment le plus petit fermé qui le contient c'est lui même. Pareil pour N. En fait c'est même vrai pour la topologie usuelle sur R, mais on peut voir que si on considère une partie A quelconque, alors A est fermée relativement à A et donc A est dense dans A.

Tout à fait d'accord avec Otto, une autre définition de la densité d'un espace X dans Y et que quelque soit le voisinage d'un point y de Y
Alors l'intersection de X avec ce voisinage et non vide ce qui prouve que tout espace est dense dans lui même

Hum c'est que j'avais une mauvaise définition en tête :

Un ensemble E est dans F si pour tout élément x et y de F tels que x < y il existe un élément de E compris entre x et y


Jord

"POUR MOI CELA PROUVE QUE R EST DENSE DANS D NON"
R est dense dans D, je ne pense pas puisque R contient strictement D.

Ensuite éventuellement la réciproque:
Soit x un élément de R, alors il existe (xn)_n€A=[-oo,k] xn à valeur dans {0,...,9} tel que
x=somme des x_n*X^n n variant dans A.
Donc D est bien dense dans R.

Conclusions:
Se méfier du Monier et des sites internet.

"Hum c'est que j'avais une mauvaise définition en tête :

Un ensemble E est dans F si pour tout élément x et y de F tels que x < y il existe un élément de E compris entre x et y"

J'entend bien mais il faut comprendre que topologiquement ca n'a pas de sens parce que tu utilises une relation d'ordre, et même si tout ensemble peut être bien ordonné (lemme de Zorn/Zermelo), les ordres ne sont intéressants que dans certains cas bien précis, et notamment dans R. En général on a aucun ordre, et du toute manière un ordre est une notion algèbrique, donc indépendante de notre topologie (sauf si on construit notre topologie à partir de l'ordre). Donc en fait c'est une notion peu utilisable
En fait être dense au sens de Monier n'implique pas être dense (dans  qqchose) au vrai sens du terme, et inversement. Autant dire que c'est une pseudo-propriété.

bonjour ,
je me permets d'intervenir, parce que pour moi, il n'y a qu'une densité (jamais entendu de densité tout cours )

une partie A est dense dans un ensemble E si = E
où signifie l'adhérence de A
(où plus communément le plus petit fermé contenant A)

dans ce cas, cela signifie que si on prend n'importe quelle boule de E, il contient un élément de A
se qui peut se traduire sur IR avec l'adhérence de Q par:
pour tout x et y tels que x < y, il existe z dans Q vérifiant:
x < z < y

donc pour moi, il y a une et une seule définition (peut être dit différement, mais une unique)

à voir, si je commais une erreur

Bon j'ai compris je vais m'acheter un autre bouquin

mais non, Nightmare
la définition de ce qui est écrit est corecte en supposant que tu te place dans un ensemnle ordonné, c'est tout
(c'est mon avis )

Non non mais je parle du fait qu'il parle d'un définition que personne ne connait (celle de la densité de Q tout court)

c'est normale, une densité tout court ne veut rien dire
c'est comme quand tu parles de pourcentage tout court, cela ne signifie rien.

en fait dans ton livre, il sous entend que Q est dense dans Q
voilà pourquoi il dit Q est dense (il commet un abus d'écriture, il devait être restreint au nombre de lettres comme les SMS )

Avec la définition du livre à Nightmare, ça ressemble presque à la définition d'un intervalle.

oui, normale, vu qu'un intervalle (dans IR) est un fermé

]0,1[ est fermé dans les réels ??