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dérivabilité d une fonction
bonsoir!
je bloque sur certaines questions d'un exercice de maths et les questions s'enchainent...j'ai donc quelques difficultés a resoudre cet exercice! quelqu'un voudrait-il bien me donner un ptit coup de pouce?! mercii d'avance!
l'énoncé est le suivant:
g est la fonction definie sur ]0;+oo[ par g(t)= (1-e(-t))/t
Q/ sachant que 1+t < e(t) (inégalité (1))determiner le sens de variation de g
soit k definie sur ]0;+oo[ par k(t)= t[/sup]3/6 -1+t-(t[sup]2/2)+e(-t)
Q/demontrer a l'aide de l'inegalité 1 que pour tt reel t>0 k"(t)>0
on a pour tt reel t>0:
1-t+(t[/sup]2/2)-e(-t) >0
et k(t) >0
Q/deduire de ces 2 inegalités un encadrement de (1-e(-t)-t)/t[sup]2 pour t>0
f est la fction definie sur ]0;+oo[ par f(t)=g(t) si t>0 et f(0)=1
Q/ demontrer a l'aide de l'encadrement trouvé que f est derivable en 0 et que f'(0)= -1/2
1) Pour les variations tu dois d'abord trouver la dérivée :
g'(x) = ((e(-t)(1+t)-1)/t²
Ensuite tu dois étudier le signe de g'
Sachant que 1+t < e(t)
alors (1+t)e(-t) < 1
donc (1+t)e(-t) - 1 < 0
Le numérateur de g' est donc négatif et comme le dénominateur est positif alors g' est négatif donc g est décroissante.
D'accord, merci beaucoup!
J'avais trouvé la dérivée g'(x) et je m'étais débrouillée pour trouver son signe en faisant un tableau de signe, mais je vais faire cette méthode en utilisant uniquement l'inéquation (1)
Pour les autres questions, j'ai finalement trouvé les solutions (qui j'espere seront les bonnes!!)
merci pour m'avoir accordé un peu de votre temps!
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