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dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation

Posté par
ririfabre 06-11-22 à 13:55

Bonjour à tous,

Voici l'exercice qui me pose problème:
soit f la fonction définie  sur [0;+\infty] par : f(x)=(x+1)e^{-\dfrac{1}{x}} det f(0)=0

a) déterminer la limite de f quand x tend vers 0. que peut-on en déduire pour f?
J'ai calculé que la limite de f quand x tend vers 0^+ car f est définie sur [0;+\infty] et je trouve que \lim\limits_{x \to 0}=0=f(0) donc f est continue.
est-ce que j'aurais aussi dû calculer la limite en 0^-?

b)f est elle dérivable en 0?
Pour cela on doit utiliser le taux de variation puis calculer sa limite en 0
T(x)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\iff e^{-\dfrac{1}{x}}(1+\dfrac{1}{x})
C'est ici que j'ai un problème: je n'arrive pas à calculer la limite quand x tend vers 0 car je retombe toujours sur des formes indéterminées...comment dois-je faire?  Est-ce possible que la limite n'existe pas , et dans ce cas, comment le justifier?

Merci

Posté par
malou Webmasterre : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 14:00

Bonjour
Tu ne peux pas chercher la limite en 0-
La fonction n'est pas définie

Tu nous expliques pourquoi c'est une FI ?

Posté par
ririfabrere : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 14:43

calcul de la limite de T(x):
\lim_{x \to \0}-\dfrac{1}{x}=-\infty
\lim_{X \to \-\infty}e^X=0^+
Par composition, on a \lim_{x \to \0}(e^{-\dfrac{1}{x}})= 0^+
\lim_{x \to \0}(1+\dfrac{1}{x})=+\infty
donc \lim_{x \to \0}T(x)=0\infty c'est une forme indéterminée

Posté par
malou Webmasterre : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 14:45

distribue ton exponentielle sur ta parenthèse
tu dois avoir une FI du cours, qui n'en sera donc plus une

Posté par
ririfabrere : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 14:47

petits beugs dans les écritures, c'est plutôt
calcul de la limite de T(x):
\lim_{x \to 0}-\dfrac{1}{x}=-\infty
\lim_{X \to -\infty}e^X=0^+
Par composition, on a \lim_{x \to 0}(e^{-\dfrac{1}{x}})= 0^+
\lim_{x \to 0}(1+\dfrac{1}{x})=+\infty
donc \lim_{x \to 0}T(x)=0\infty c'est une forme indéterminée

Posté par
malou Webmasterre : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 14:48

malou @ 06-11-2022 à 14:45

distribue ton exponentielle sur ta parenthèse
tu dois avoir une FI du cours, qui n'en sera donc plus une

Posté par
ririfabrere : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 14:58

en distribuant:
T(x)=e^{-\dfrac{1}{x}}+\dfrac{e^{-\dfrac{1}{x}}}{x}
je ne  vois pas quelle formule utiliser ?

Posté par
malou Webmasterre : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 15:27

Laisse \dfrac 1x devant ton exponentielle
Tu devrais reconnaître qq chose

Posté par
ririfabrere : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 15:33

je crois avoir trouvé:
T(x)=e^{-\dfrac{1}{x}}+\dfrac{e^{-\dfrac{1}{x}}}{x}\iff e^{-\dfrac{1}{x}}+\dfrac{1}{e^{\dfrac{1}{x}}x}
e^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}   {\dfrac   {e^{\dfrac{1}{x}}}   {\dfrac{1}{x}}}
Soit X=\dfrac{1}{x}
et on peut maintenant calculer et on obtient qur la limite vaut 0

Posté par
ririfabrere : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 15:37

Plutôt
e^{-\dfrac{1}{x}}+\dfrac{1}{\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{\dfrac{1}{x}}}

Posté par
ririfabrere : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 15:44

on a donc quand x tend vers 0, X tend vers +\infty
donc \dfrac{e^X}{X} tend vers +\infty
donc \dfrac{1}{\dfrac{e^X}{X}} tend vers 0+

Posté par
malou Webmasterre : dérivabilité d'une fonction , limite du taux de variation 06-11-22 à 15:58

je vais t'écrire la forme sous laquelle cela va fonctionner
car ce qui s'est affiché est assez illisible, j'espère que tu pourras lire ce que je vais écrire
(notre site va mal, et j'ai beaucoup de mal à me connecter et à venir aider)
\text e ^{-\frac 1 x}+\dfrac 1 x \text e ^{-\frac 1 x}
et là tu utilises les théorèmes de croissance comparée
Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances, logarithmes
et c'est gagné


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