svp

lim(x->0) sin(x)/x = 1

on peut prolonger f(x) en 0 par f(0) = 0

(f(x)-f(0))/(x-0) = ((sin(x))/x)-1)/x = (sin(x) - x)/x²

lim(x->0) [(sin(x) - x)/x²] est une indétermination du type 0/0
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Développement limité d'ordre 3 de sin(x):

sin(x) = x - x³/6

lim(x->0) [(sin(x) - x)/x²] = lim(x->0) [(x - x³/6 - x)/x²]

lim(x->0) [(sin(x) - x)/x²] = lim(x->0) [(-x³/6)/x²] = lim(x->0) [-x/6] = 0

Et donc f(x) = sin(x)/x est dérivable en 0.
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Je ne sais pas si les DL sont connus en Terminale.

Sinon, on peut utiliser la méthode des taux de variations.

Sauf distraction.  

Je ne sais pas si les DL sont connus en Terminale.

si les programmes n'ont pas changés depuis l'année dernière non

nan on n'a pas vu les DL, et l'autre méthode (celle que j'ai essyé de faire) je ne trouve pas

svp

vraiment personne ne sait ?????

Tu peux essayer avec un encadrement :
par exemple tu sais que pour x[0,] on a 0sinxx
donc :
-1/x(sinx-x)/x²0
or lim(x->0) 1/x = 0
grâce au théorème des gendarmes on trouve :
lim(x->0) (sin(x) - x)/x² = 0
sauf erreur de ma part !!

n'importe quoi j'écrit n'importe quoi :
lim(x->0) 1/x = +
désolé !!!

Quand x->0+(plus)

en fait c'est pas sa :

j'ai démontré que 0<x-sinx<x^3 / 6

et je cherche a demontrer que f est dérivable en 0
d'ou l'étude de :

lim (x-->0) : f(x)-f(0) / x - 0     car sinon on a uinon on a une forme iondéterminé du type "0/0"

or f(x) - f(0) / x = sinx - x / x²

or
0<x-sinx<x^3 / 6
d'ou
0>-x+sinx > -x^3 / 6
et c'est la que se pose le probléme.
car je ne peut pas diviser par x², pour étudier les limites de f(x) - f(0) / x lorsque x tend vers 0.

si qq aurait une petit piste histoire de me débloquer
merci

svp

j'ai essey en écrivant que :

pour tout x différent de 0

x² > 0
d'ou
0> -x + sinx / x² > - x² / 6
d'ou
lim (x--->0) -x²/6 = 0

lim (x--->0) 0 = 0
donc d'aprés le théoréme des gendarme.

lim (x--->0 f(x) - f(0) / x = 0 : limite fini donc f(x) est bien dérivable en 0 et f'(0) = 0

Vois si ceci te convient:

g(x) = sin(x) -x + x³/6

Pour x dans R+ :

g'(x) = cos(x) - 1 + x²/2
g''(x) = -sin(x) + x
g'''(x) = -cos(x) + 1

g'''(x) <= 0 --> g''(x) est croissante.
g''(0) = 0
Des 2 lignes précédentes, on conclut que g''(x) >= 0 --> g'(x) est croissante.
g'(0) = 1 - 1 + 0 = 0
Des 2 lignes précédentes, on conclut que g'(x) >= 0 --> g(x) est croissante.
g(0) = 0
Des 2 lignes précédentes, on conclut que g(x) >= 0 sur R+

--> sin(x) -x + x³/6 >= 0 sur R+

sin(x) -x >= x³/6 sur R+

(sin(x) -x)/x² >= x/6  (1)
---
h(x) = sin(x) -x
Pour x dans R+ :

h'(x) = cos(x) - 1
--> h'(x) <= 0 --> h(x) est décroissante.
h(0) = 0
Des 2 lignes précédentes, on conclut que h(x) <= 0 sur R+

sin(x) -x <= 0
et comme x² > 0
(sin(x) -x)/x² <= 0 pour x dans R+*  (2)
---
(1) et (2) -->

Dans R+*, on a:

x/6 <= (sin(x) -x)/x² <= 0 sur R*+

lim(x-> 0+) [x/6] <= lim(x-> 0+) (sin(x) -x)/x² <= 0

0 <= lim(x-> 0+) (sin(x) -x)/x² <= 0

Et donc lim(x-> 0+) (sin(x) -x)/x² = 0  (3)
-----
Avec f(x) = (sin(x) -x)/x²
f(-x) = (sin(-x) +x)/(-x)² = -(sin(x) -x)/x² = -f(x)

f est paire et donc son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

--> On a aussi lim(x-> 0-) (sin(x) -x)/x² = 0  (4)
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Avec (3) et (4) -->

lim(x-> 0) (sin(x) -x)/x² = 0
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Sauf distraction, vérifie.