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dérivabilité en TS
bonjour a tous merci de bien vouloir m'aider voici mon exo
on admet l'existence d'une fonction f définie sur I=]-1;1[ telle que pour tout x appartenant a I :
f'(x)=1/2f²(x)+1 et f(0)=0
on note C sa courbe représentative
1) donner les variations de f sur I
precisez le signe de f
2) montrer que ladroite (T) d'equation y=x est la tangente a C en x0=0
3)on définie sur I la fonction g par : g(x)=f(x)-x
a) justifier la dérivabilité de g sur I et prouver que g'(x)=1/2f(x)²
b) donner les variations de g sur I
c) en déduire le signe de g(x) sur I puis les positions relatives de C et T
4) justifier l'existence de f''(x) ( la dérivé seconde de f)
calculer f''(x) puis f''(0)
voila merci beaucoup de votre aide
amicalement danna
JE DEMANDE PAS que vous me faite l'exo bien au contraire je ne suis pas la pour faire du copier coller bétement
jé besoin qu'on m'explique car je n'y arrive pas comme par exemple dans la question 2)
JE DEMANDE PAS que vous me faite l'exo bien au contraire je ne suis pas la pour faire du copier coller bétement
jé besoin qu'on m'explique car je n'y arrive pas comme par exemple dans la question 2)
1)
f '(x) = (1/2).f²(x)+1
f '(x) > 0 sur I et donc f(x) est croissante.
Comme f(0) = 0, on a:
f(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 0[
f(x) = 0 pour x = 0
f(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1[
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2)
f '(0) = (1/2).f²(0) + 1 = 1
T: (y - f(0)) = (x - 0).f '(0)
T: y = x.1
T: y = x
-----
3)a et b)
g(x) = f(x) - x
g'(x) = f '(x) - 1
g'(x) = (1/2).f²(x) + 1 - 1
g'(x) = (1/2).f²(x)
---
g'(x) > 0 sur I et donc g(x) est croissante.
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c)
g(0) = f(0) - 0 = 0
et comme g(x) est croissante -->
g(x) < 0 pour x dans ]-1 ; 0[
g(x) = 0 pour x = 0
g(x) > 0 pour x dans ]0 ; 1[
g(x) = f(x) - x -->
f(x) - x < 0 pour x dans ]-1 ; 0[
f(x) - x = 0 pour x = 0
f(x) - x> 0 pour x dans ]0 ; 1[
f(x) < x pour x dans ]-1 ; 0[ et donc C est en dessous de T.
f(x) = x pour x = 0 et donc C et T coïncident
f(x) > x pour x dans ]0 ; 1[ et donc C est au dessus de T.
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4)
f ''(x) = f '(f '(x)) = ((1/2).f²(x)+1)' = f(x).f '(x)
f ''(0) = f(0).f '(0) = 0
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Essaie de justifier...
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