Niveau terminale

Dérivabilité en un point

Posté par Jérémy (invité) 13-11-04 à 18:57

Bonjour.

Pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice qui me bloque.
Par avance merci.

La fonction f est définie pour tout réel x dans l'intervalle [0: 1[ par f(x) = racine[(x^3)/(1 - x)]
1. f est-elle dérivable en 0 ?

2. Calculez f'(x) pour x appartenant à ]0: 1[.

Posté par re : Dérivabilité en un point 13-11-04 à 19:00

Bonjour

Connaissez-vous la formule :

f est dérivable en 0 si et seulement si :

$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =l$ avec l un réel

Posté par Jérémy (invité)re : Dérivabilité en un point 13-11-04 à 19:15

Merci pour votre aide.

Pour la première c'es ok. J'ai trouvé qu'elle n'était pas dévivable en 0.

Pouvez vous m'aider maintenant pour la seconde.

merci.

Posté par re : Dérivabilité en un point 13-11-04 à 19:23

Re bonjour

on connait les formules de dérivations :

$(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$
et
$(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}$

Calculons donc dans un premier lieu la dérivée de $x\to\frac{x^{3}}{x-1}$

$\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$
$\frac{d}{dx}(x-1)=1$

Donc d'aprés la premiére formule :
$\frac{d}{dx}(\frac{x^{3}}{x-1})=\frac{3x^{2}(x-1)-x^{3}}{(x-1)^{2}}$
$\frac{d}{dx}(\frac{x^{3}}{x-1})=\frac{2x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{2}}$

On en déduit la dérivée de f d'aprés la deuxiéme formule :
$f'(x)=\frac{\frac{2x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{2}}}{2\sqrt{\frac{x^{3}}{x-1}}}$
c'est a dire :
$f'(x)=\frac{2x^{3}-3x^{2}}{2(x-1)^{2}\sqrt{\frac{x^{3}}{x-1}}}$

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