On crée la fonction f: [0; pi/2] --> |R
                          x |--> sin x - 2 x / pi

Tu etudies ensuite la fonction pour déterminer quel est son signe sur [0; pi/2]

Puis, tu crées la fonction g / g(x) = x - sin x
Tu peux commencer par celle-là, d'ailleurs, elle est plus simple.

Essaies avec ces indications, ça devrait te décoincer, s'il te faut ensuite plus de détails n'hésites pas

Bonjour

Pour la premiere je ne vois pas d'autre chemin que celui que Claire propose pour le moment

Pour le deuxiéme par contre il est peut être plus rapide de passer par les inégalitées des accroissements finis :

On sait que pour tout x :



Or , cos est la dérivée de sin . On en déduit d'aprés les inégalités des accroissement fini :



soit :

Merci pour votre aide vous m'avez bien aider j'y vois un peu plus claire, maintenant!

En fait j'ai pas compris ce que c'est "les inégalités des accroissement fini"

Si je prends f(x)=sin(x)-2x/
Je trouve -1
f(x)1

si j'ai bien compris on doit trouver f(x)0

Bonjour

Si tu n'as pas vu les inégalités des accroissements fini alors prend la technique de Claire

Enfin , a titre explicatif :

Les inégalitées des accroissements finis nous disent :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ]a;b[.
On suppose qu'il existe m et M tels que pour tout x de ]a,b[ on ait
On a alors :


Dans ton exercice , on prend f(x)=sin(x) , M=1 , b=x et a=0 et le tour est joué ( on aurait pu prendre m=-1 et ainsi prouver que mais ce n'est pas demandé ici )

En quoi letude du signe de f(x) amenerait a repondre a la question

Tout simplement , si tu as , alors :



soit encore :


Qui est l'inégalité recherchée

je ne trouve pas f(x)0 je trouve -1f(x)1

je crois que mon probleme ne se résout pas, à moins que ca soit moi qui me suis trompe

JE prends le problème en route, mais je reprends les conseils de claireCW :

On veut montrer que pour tout x compris entre 0 et ,        

Mais cela est équivalent à montrer que, pour tout x compris entre 0 et ,        

On introduit donc la fonction f, définie sur   par

Et on va montrer que,  pour tout x compris entre 0 et ,        

Pour cela, étudions les variations de f sur :
f est dérivable sur cet intervale, et, pour tout x de ,

De là, il faut :
--> étudier le signe de f' sur
--> dresser le tableau des variations de f sur
--> croiser les doigts pour que f ne prenne que des valeurs positives sur cet intervalle

A toi de jouer

@+
Emma

En quoi savoir si elle est croissante ou pas sur l'intervalle prouvera que f(x)0

Bah, si elle croît en partant d'une valeur positive, c'est  qu'elle restera toujours positive, non ?

Si tu n'y arrives pas, dis le : je n'ai pas fait les calculs, mais si besoin, je les ferai

@+

je comprens vraiment plus rien

On doit trouver f(x) 0
mais:
0sin(x)1
-1-2x/0

donc -1f(x)1

Je sais pas si mon raisonnement est juste!

Il faut étudier les variations de la fonction f(x) = sin x - 2x/ pi sur l'intervalle pour savoir quel est son signe.

Puisqu'elle est positive sur toute l'intervalle, alors sin x >= 2x/pi.

f'(x) = cos x -2/ pi

cette fonction n'est pas non plus évidente, donc on va étudier ses variations sur l'intervalle.

f''(x) = - sin x
sur ]0;pi/2], f''(x)<0
pour x = 0, f''(x) = 0
donc f' est strictement décroissante sur ]0;pi/2], et continue en 0.
f'(0) = 1- 2/pi > 0
f'(pi/2) = - 2/pi < 0

f'(x) = 0 <==> x = arccos(2/pi)

       | 0         arccos(2/pi)                pi/2
-------|----------------|---------------------------
f''(x) | 0   -          |          -            
       |                |
-------------------------------------------------
       |1-2/pi          |
f'     |   Décroissante |
       |                0
       |                |     Décroissante     -2/pi
--------------------------------------------------
f'(x)  |      +         0          -
----------------------------------------------------
f      |                |
       |  Croissante    |      Décroissante
       | 0              |                         0
----------------------------------------------------
f(x)   | 0     +                       +          0


Le tableau de variation montre que quel que soit x € [0; pi/2], f(x) >= 0, odnc sin x - 2x/pi >= 0, donc sin x >= 2x/pi

Pour l'autre inégalité, tu prends g(x ) = sin x - x, et ça va beaucoup plus vite. Je te laisse faire ...

Merci claireCW pour cette reponse complete, c'est tres gentil de ta pars