salut
f est derivable sur [0,] car c'est le quotient de deux fonction s derivables sur cet intervalle

f'(x)=[(cosx)^4 +3cos²xsin²x]/(cosx)^6
     =cos²x[cos²x+3sin²x]/(cosx)^6
     =[cos²x +3-3cos²x]/(cosx)^4
     =(-2cos²x +3]/(cosx)^4
     =[-2cos²x/(cosx)^4] + [3/(cosx)^4]
     = -2/cos²x    +3/(cosx)^4

bonsoir
J'ai un souci avec une borne de ton intégrale  sin(pi/6) = 1/2
int = l'intégrale
poser sin(x) = t  => cos³(x)/(1-2sinx)dx = (1-t²)/(1-2t)dt ....
l'intégrale indéfinie donne
-3.(ln|1-2sinx|)/8 + sin²x/4 + sinx/4  pour pi/6  = +ou- l'infini

geo3