Bonsoir,

On a g(x)=(x-2)e^(-2x+6)+3.
Cette fonction se compose d'un produit d'une fonction affine par une fonction exponentielle, auquel on ajoute un réel, on peut donc la dériver sur ℝ.
Il faut donc que tu appliques la règle de la dérivée d'un produit que je te rappelle ici : pour u et v qui sont 2 fonctions, (uv)'=u'v+uv'. Par ailleurs, la dérivée d'une fonction exponentielle e^u est (e^u)'=u'×e^u. Je pense enfin que tu sais que la dérivée d'un réel est 0.

Lorsque je dérive j'obtiens e^(-2x+6)*(x-1) est-ce correct?

Cette fonction  g  se dérive en tant que produit de fonctions  u  et  v  de  x  , avec
u = x - 2
et
v = e^-2x+6 ,
en utilisant la formule
(uv)' = uv' + u'v .

Oui donc j'obtiens : g'(x) = 1*e^(-2x+6)+(x-2)e^(-2x+6)

Dérivée inexacte.

C'est à dire où est mon erreur?

J'obtiens donc : g'(x)=-2e^(-2x+6)-2xe^(-2x+6)

euh plutôt : g'(x)=2e^(-2x+6)-2xe^(-2x+6)

Euh non, pourquoi tu as touché au début ? Tu as : 1*e^(-2x+6)+ jusque là c'est bon. Ensuite, il faut que tu multiplies x+2 par la dérivée de e^(-2x+6), ce qui est comme je te l'ai dit la dérivée de -2x+6 multipliée de e^(-2x+6). Dit moi si tu ne comprends pas quelque chose.

g'(x)=-2e^(-2x+6)-2xe^(-2x+6)+4e^(-2x+6)

Ne fais pas que des propositions, je ne comprend pas d'où elles viennent. Je t'ai dit que 1*e^(-2x+6)+ est un bon début et tu ne le met jamais, explique moi le raisonnement que tu fais plutôt.

Je fais donc :  1*2*e^(-2x+6)+(x-2)*-2*e^(-2x+6)

Pourquoi 1*2 au début ?

Que devrais-je faire à la place?

1*e^(-2x+6) tout simplement car la dérivée de x-2 est 1

ah merci

Je dois ensuite faire le tableau de signes de g'(x).

D'accord je vois, ceci pour en venir au tableau de variations de g je suppose.
Donc que proposes-tu ?

Je propose de résoudre g'(x)=0

En effet, c'est un bon début. Que trouves-tu ?

Un trinome : 4x²-10x+24

Il faut donc que je fasse delta puis trouver les racines?

Vous êtes toujours là?

Tu dois t'être trompé dans le trinôme que tu obtiens car on ne doit pas trouver ça

effectivement je trouve un delta négatif

L'équation à résoudre est bien : e^(-2x+6)+(-2x+4)*e^(-2x+6)=0

Par quoi peut-tu factoriser ensuite ?

Oui j'ai fait une erreur de calcul c'est : 4x²-22x+30
Donc le discriminant est 4

x1=3 et x2 =5/2

Oui, le discriminant est bien 4, ce qui te donne quoi comme solution ?

solution 1 =3
solution 2= 2.5

Comment justifier qu'il ne marche pas

Lorsque tu calcules g'(3), ça ne fais pas 0, donc on retient seulement x2=2,5

Comment trouver le signe maintenant?

Tu sais que g'(x)=0 seulement pour x=2,5 (et g'(x) est continue), donc il te suffit de calculer l'image par g' d'un nombre inférieur à 2,5 et d'un autre supérieur à 2,5 et en fonction du signe des images que tu obtiens, tu en déduira le signe de g'

Je peux dire que comme a est négatif la parabole est censée être tournée vers le haut

*a est positif

Attend peux-tu me mettre les étapes que tu as fait pour trouver ton trinôme stp, car je ne suis pas sûr

g'(x)=0
-2xe^(-2x+6)+5e^(-2x+6)=0
-2x(-2x+6)+5(-2x+6)=0
4x²-12x-10x+30=0
4x²-22x+30=0

Le bénéfice en fonction de la quantité x est donné par la fonction g.
Quelle quantité minimale doit vendre l'entreprise pour réaliser un bénéfice?
Je dois donc résoudre g(x)=0?

Essaye plutôt de travailler avec l'écriture e^(-2x+6)*(5-2x)=0 puis de résoudre cette équation produit nul, car avec le trinôme on obtient des variations fausses

Et en plus, on pourra plus simplement justifier que x=3 n'est pas une solution.
Donne moi ce que tu trouves pour l'équation produit nul.

Oui mais je ne sais pas comment résoudre ça si tu peux m'aider

e^(-2x+6)*(5-2x)=0     ⇔     e^(-2x+6)=0      OU     5-2x=0

Tu dois donc résoudre ces 2 équations intermédiaires, que trouves tu ?

Je trouve 3 et 2.5

Pourquoi 3 ? La première équation demande de trouver x tel que e^(-2x+6) est nul, or la fonction exponentielle ne s'annule jamais, donc la première équation n'admet aucune solution, sinon la 2ème est bien 2,5