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Dérivaion fonction exponentielle

Posté par
JeanBonBeurre
17-05-20 à 22:44

Bonjour,
Je n'arrive pas à dériver cette fonction : g(x)=(x-2)e^(-2x+6)+3
Si quelqu'un peut au moins m'indiquer une méthode.
Cordialement,
Un élève

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 22:50

Bonsoir,

On a g(x)=(x-2)e^(-2x+6)+3.
Cette fonction se compose d'un produit d'une fonction affine par une fonction exponentielle, auquel on ajoute un réel, on peut donc la dériver sur ℝ.
Il faut donc que tu appliques la règle de la dérivée d'un produit que je te rappelle ici : pour u et v qui sont 2 fonctions, (uv)'=u'v+uv'. Par ailleurs, la dérivée d'une fonction exponentielle e^u est (e^u)'=u'×e^u. Je pense enfin que tu sais que la dérivée d'un réel est 0.

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 22:52

Lorsque je dérive j'obtiens e^(-2x+6)*(x-1) est-ce correct?

Posté par
Priam
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 22:55

Cette fonction  g  se dérive en tant que produit de fonctions  u  et  v  de  x  , avec
u = x - 2
et
v = e-2x+6 ,
en utilisant la formule
(uv)' = uv' + u'v .

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 22:59

Oui donc j'obtiens : g'(x) = 1*e^(-2x+6)+(x-2)e^(-2x+6)

Posté par
Priam
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:05

Dérivée inexacte.

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:08

C'est à dire où est mon erreur?

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:10

JeanBonBeurre @ 17-05-2020 à 22:59

Oui donc j'obtiens : g'(x) = 1*e^(-2x+6)+(x-2)e^(-2x+6)

Le début est bon, mais à la fin, la dérivée de e^u est u'*e^u et non pas seulement e^u.

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:12

J'obtiens donc : g'(x)=-2e^(-2x+6)-2xe^(-2x+6)

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:17

euh plutôt : g'(x)=2e^(-2x+6)-2xe^(-2x+6)

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:20

Euh non, pourquoi tu as touché au début ? Tu as : 1*e^(-2x+6)+ jusque là c'est bon. Ensuite, il faut que tu multiplies x+2 par la dérivée de e^(-2x+6), ce qui est comme je te l'ai dit la dérivée de -2x+6 multipliée de e^(-2x+6). Dit moi si tu ne comprends pas quelque chose.

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:24

g'(x)=-2e^(-2x+6)-2xe^(-2x+6)+4e^(-2x+6)

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:27

Ne fais pas que des propositions, je ne comprend pas d'où elles viennent. Je t'ai dit que 1*e^(-2x+6)+ est un bon début et tu ne le met jamais, explique moi le raisonnement que tu fais plutôt.

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:30

Je fais donc :  1*2*e^(-2x+6)+(x-2)*-2*e^(-2x+6)

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:31

Pourquoi 1*2 au début ?

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:32

Que devrais-je faire à la place?

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:33

1*e^(-2x+6) tout simplement car la dérivée de x-2 est 1

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:35

ah merci

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:37

Je dois ensuite faire le tableau de signes de g'(x).

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:39

D'accord je vois, ceci pour en venir au tableau de variations de g je suppose.
Donc que proposes-tu ?

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:40

Je propose de résoudre g'(x)=0

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:42

En effet, c'est un bon début. Que trouves-tu ?

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:44

Un trinome : 4x²-10x+24

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:44

Il faut donc que je fasse delta puis trouver les racines?

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:53

Vous êtes toujours là?

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:53

Tu dois t'être trompé dans le trinôme que tu obtiens car on ne doit pas trouver ça

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:54

effectivement je trouve un delta négatif

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:54

L'équation à résoudre est bien : e^(-2x+6)+(-2x+4)*e^(-2x+6)=0

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:55

Par quoi peut-tu factoriser ensuite ?

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 17-05-20 à 23:57

Oui j'ai fait une erreur de calcul c'est : 4x²-22x+30
Donc le discriminant est 4

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:00

x1=3 et x2 =5/2

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:02

Oui, le discriminant est bien 4, ce qui te donne quoi comme solution ?

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:02

solution 1 =3
solution 2= 2.5

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:03

JeanBonBeurre @ 18-05-2020 à 00:00

x1=3 et x2 =5/2

x1=3 ne marche pas

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:03

Comment justifier qu'il ne marche pas

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:04

Lorsque tu calcules g'(3), ça ne fais pas 0, donc on retient seulement x2=2,5

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:06

Comment trouver le signe maintenant?

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:09

Tu sais que g'(x)=0 seulement pour x=2,5 (et g'(x) est continue), donc il te suffit de calculer l'image par g' d'un nombre inférieur à 2,5 et d'un autre supérieur à 2,5 et en fonction du signe des images que tu obtiens, tu en déduira le signe de g'

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:12

Je peux dire que comme a est négatif la parabole est censée être tournée vers le haut

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:12

*a est positif

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:15

Attend peux-tu me mettre les étapes que tu as fait pour trouver ton trinôme stp, car je ne suis pas sûr

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:17

g'(x)=0
-2xe^(-2x+6)+5e^(-2x+6)=0
-2x(-2x+6)+5(-2x+6)=0
4x²-12x-10x+30=0
4x²-22x+30=0

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:21

Le bénéfice en fonction de la quantité x est donné par la fonction g.
Quelle quantité minimale doit vendre l'entreprise pour réaliser un bénéfice?
Je dois donc résoudre g(x)=0?

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:26

Essaye plutôt de travailler avec l'écriture e^(-2x+6)*(5-2x)=0 puis de résoudre cette équation produit nul, car avec le trinôme on obtient des variations fausses

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:27

Et en plus, on pourra plus simplement justifier que x=3 n'est pas une solution.
Donne moi ce que tu trouves pour l'équation produit nul.

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:27

Oui mais je ne sais pas comment résoudre ça si tu peux m'aider

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:29

e^(-2x+6)*(5-2x)=0     ⇔     e^(-2x+6)=0      OU     5-2x=0

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:30

Tu dois donc résoudre ces 2 équations intermédiaires, que trouves tu ?

Posté par
JeanBonBeurre
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:34

Je trouve 3 et 2.5

Posté par
eleveterm
re : Dérivaion fonction exponentielle 18-05-20 à 00:36

Pourquoi 3 ? La première équation demande de trouver x tel que e^(-2x+6) est nul, or la fonction exponentielle ne s'annule jamais, donc la première équation n'admet aucune solution, sinon la 2ème est bien 2,5

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