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dérivation --> aidez moi SVP

Posté par bruno_robles (invité) 13-10-04 à 17:00

Voila j'ai 2 exos a faire et je galere de trop a les resoudre pouvez vous m'aidez ?
Voici les 2 exos:

Exo1
fm est la fonction definie sur R-(-1;1) par:
fm(x)=(x²+mx)/x²-1 où m est un réel.
a) Pour quelles valeurs de m, fm n'admet-elle ni minimum, ni maximum ?
b) Pour quelles valeurs de m, fm a-t-elle un maximum et un minimum?

Exo2
f est la fonction definie sur R par:
f(x)=1/2cos2x-cosx
1.a)Montrer que f est periodique de periode 2pi
  b)Demontrer que la courbe C admet l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.
2.a)Déterminer la fonction dérivé de f
  b)Démontrer que pour tout réel x:
         f'(x)=sinx(-2cosx+1)
  c)Etudier le signe de f'(x) pour x dans l'intervalle [0;pi]
3.a)Dresser le tableu de variation de f sur [0;pi]
  b)Tracer la courbe représentant f sur [-pi;pi]
    Comment deduit-on la courbe C?

Posté par bruno_robles (invité)Derivation --> aides moi SVP ! 13-10-04 à 17:14

Voila j'ai 2 exo que je n'arrive pas a résoudre.

Exo1
fm(x)=(x²+mw)/(x²-1)  D=R-{-1;1}
a)Pour quelles valeurs de m, fm n'admet ni minimum ni maximum?
b)Pour quelle valeurs de m, fm admet un maximum et un minimum?

Exo2
f(x)=1/2cos2x-cosx sur R
1.a)Montrer que f est periodique de periode 2
b)Demontrer que la courbe C admet l'axe des ordonnées comme axe de syletrie
2.a)Determiner f'(x)
b)Demontrer que f'(x)=sinx(-2cosx+1)
c)Etudier le signe de f'(x) pour x dans l'intervalle [0;]
3.a)Dresser le tableau de variation de f sur [0;]
b)Tracer la courbe représentant f sur [-;]
Comment déduit-on la courbe f?

*** message déplacé ***

Posté par bruno_robles (invité)derivation 13-10-04 à 17:19

Voila j'ai 2 exo que je n'arrive pas a résoudre.

Exo1
fm(x)=(x²+mw)/(x²-1)  D=R-{-1;1}
a)Pour quelles valeurs de m, fm n'admet ni minimum ni maximum?
b)Pour quelle valeurs de m, fm admet un maximum et un minimum?

Exo2
f(x)=1/2cos2x-cosx sur R
1.a)Montrer que f est periodique de periode 2
b)Demontrer que la courbe C admet l'axe des ordonnées comme axe de syletrie
2.a)Determiner f'(x)
b)Demontrer que f'(x)=sinx(-2cosx+1)
c)Etudier le signe de f'(x) pour x dans l'intervalle [0;]
3.a)Dresser le tableau de variation de f sur [0;]
b)Tracer la courbe représentant f sur [-;]
Comment déduit-on la courbe f?

*** message déplacé ***

Posté par (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 12:52

SVP j'y arrive pas du tout
aidez-moi

Posté par bruno_robles (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 13:39

ya vraiment personne qui peut m'aider?
PS: excuser moi pour avoir fait un multi post ce n'etai vraiment pas volontaire de ma part

Posté par bruno_robles (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 13:41

meme si vous ne pouvez pas faire tout les exercices au moins quelque question serait déja une aide precieuse de votre part

Posté par
Belge-FDLEre : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 13:44

Salut Bruno_robles ,

Écoute, je vais voir ce que je peux faire pour t'aider .

Mais STP ait un peu de patience!!! Tu sais le temps que ça prend à rédiger un exercice (d'autant plus si tu utilises Latex pour les formules)?
Donc, je vais me pencher sur ton exo, mais ne t'attend pas à l'avoir avant une heure je pense...

Voilà .

À +

Posté par bruno_robles (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 14:34

???
ya quelqu'un ???
SVP

Posté par
Belge-FDLEre : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 14:37

Tu sais pas lire ???
Attend !!!

Posté par
Belge-FDLEre : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 14:47

Dsl pour mon dernier message bruno_robles, je me suis quelque peu emporté .
Tu as tout à fait le droit de continuer à demander de l'aide, et de faire remonter ton Topic en postant dans celui-ci .

Pour ce qui est de ton exo, j'ai commencé par attaquer le 2, et ça avance .

À +

Posté par bruno_robles (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 15:21

Oui je sais que ça prend du temps car moi meme j'ai reflechi a ces exo.
Latex??? je connai pas donc jpense pas que je soit l'utiliser
merci pour ton aide

Posté par bruno_robles (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 15:23

merci.
c'est pas grave que tu te soi emporter c'est un peu normal.
c'etait juste pour remonter mon topic comme tu l'as dit

Posté par
Belge-FDLEC est long, mais bon 16-10-04 à 16:04

Re-Salut Bruno_robles ,

Alors, tout d'abord pour l'exercice 2, voivi ce que je trove :

EXERCICE 2

f est la fonction définie sur 2$\mathbb{R} par : 2$\rm~f(x)~=~\frac{1}{2}cos(2x)~-~cos(x)
1.a-Montrer que f est périodique de péridode 2$2\pi.

On sait que l'on a :

2$\rm~cos(x)~=~cos(x+2k\pi)
2$\rm~cos(2x)~=~cos(2(x+2k\pi))
2$\rm~cos(2x)~=~cos(2x[\pi])
2$\rm~\frac{1}{2}cos(2x)~=~\frac{1}{2}cos(2x[\pi])
2$\rm~\frac{1}{2}cos(2x)-cos(x)~=~\frac{1}{2}cos(2x[\pi])-cos(x[2\pi]) (en reprenant la première ligne)

CONCLUSION : La fonction f est périodique de période 2$2\pi.

b-Démontrons que la coube C admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie :
On sait qu'une fonction admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie SSI la fonction dont elle est représentative est paire, càd SSI :
2$\rm~f(x)~=~f(-x)

Or on sait que :
2$\rm~cos(x)~=~cos(-x)
2$\rm~cos(2x)~=~cos(-2x)
2$\rm~\frac{1}{2}cos(2x)~=~\frac{1}{2}cos(-2x)
2$\rm~\frac{1}{2}cos(2x)~-~cos(x)~=~\frac{1}{2}cos(2(-x))~-~cos(-x)

CONCLUSION : f est paire et sa courbe représentative C admettra donc l'axe des ordonnées pour axe de symétrie.

2.a-Déterminer la dérivée f'de f.
f est dérivable sur 2$\mathbb{R} comme somme de fnctions dérivables sur 2$\mathbb{R}, et on a :


2$\rm~f(x)~=~u(x)+v(x)~~ie~~f'(x)=~u'(x)+v'(x)

avec 2$\rm~u(x)=\frac{1}{2}cos(2x) d'où 2$\rm~u'(x)=\frac{1}{2}(-2sin(2x))=-sin(2x)
et   2$\rm~v(x)=-cos(x)  d'où 2$\rm~v'(x)=-sin(x)

CONCLUSION : On a : 2$\rm~f'(x)=~sin(x)~-sin(2x)

b-Démontrer que 2$\rm~f'(x)=~sin(x)(-2cos(x)+1)
On a vu précédemment que l'on avait :

2$\rm~f'(x)=~sin(x)~-sin(2x)
2$\rm~f'(x)=~sin(x)~-sin(x+x)
2$\rm~f'(x)=~sin(x)~-~(sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x))
2$\rm~f'(x)=~sin(x)~-~sin(x)cos(x)~-~sin(x)cos(x))
2$\rm~f'(x)=~sin(x)(1-cos(x)-cos(x)) (en factorisant par sin(x))
2$\rm~f'(x)=~sin(x)(1-2cos(x))

CONCLUSION : On a bien : 2$\rm~f'(x)=~sin(x)(-2cos(x)+1)

c-Étudier le signe de f' sur l'intervalle 2$\rm~[0~;~\pi]
On vient de voir que 2$\rm~f'(x)=~sin(x)(1-2cos(x)).
Or sur l'intervalle 2$\rm~[0~;~\pi], sin(x) est positif.
Le signe de f' dépendra donc de (1-2cos(x)), et on a :

2$\rm~1-2cos(x)~\geq~~0
2$\rm~-2cos(x)~\geq~~-1
2$\rm~cos(x)~\leq~~\frac{1}{2}

SSI 2$\rm~x~\geq~~\frac{\pi}{3} (sur l'intervalle étudié)

CONCLUSION : f' est négative sur 2$\rm~[0~;~\frac{\pi}{3}], et est positive sur 2$\rm~[\frac{\pi}{3}~;~\pi]. On en déduit donc que f sera décroissante sur 2$\rm~[0~;~\frac{\pi}{3}] et croissante sur 2$\rm~[\frac{\pi}{3}~;~\pi].


3.a-Tracer le tableau de variations de f sur l'intervalle 2$\rm~[0~;~\pi].
On peut à présent facilement tracer ce tableau :

2$\rm~\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline~x&0& & &\frac{\pi}{3}& & &\pi\\\hline~f'(x)& &-& &0& &+& \\\hline~ &-\frac{1}{2}& & & & & &\frac{2}{3}\\~f(x)& &\searrow& & & &\nearrow&\\~& & & &-\frac{3}{4}& & &\\\hline~\end{tabular}

Voici les claculs qui m'ont permis de remplir le tableau ci-dessus :
2$\rm~f(0)~=~\frac{1}{2}cos(2\times0)~-~cos(0)~=~\frac{1}{2}~-~1~=~-\frac{1}{2}
2$\rm~f(\frac{\pi}{3})~=~\frac{1}{2}cos(\frac{2\pi}{3})~-~cos(\frac{\pi}{3})~=~\frac{1}{2}\times(-\frac{1}{2})~-~\frac{1}{2}~=~-\frac{1}{4}~-~\frac{1}{2}~=~-\frac{3}{4}
2$\rm~f(x)~=~\frac{1}{2}cos(2\pi)~-~cos(\pi)~=~\frac{1}{2}~+~1~=~\frac{3}{2}

b-Tracer la courbe représentant f sur l'intervalle 2$\rm~[-\pi~;~\pi].
Alors, ici, je peux pas vraiment le faire .
Mais bon le seul conseil que je peux te donner, c'est de la tracer sur 2$\rm~[0~;~\pi], et ensuite, comme on a vu que la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, c'est simple de tracer C sur 2$\rm~[-\pi~;~0] .

b-Comment déduit-t'on la courbe représentative de f (je pense que c'est "Comment déduit-t'on la courbe représentative de f sur 2$\mathbb{R}"qu'ils veulent dire)?
On a vu à la question 1) que f était 2$2\pi périodique, donc si l'on veut tracer la coube représentative de f sur 2$\mathbb{R}, il suffit de répliquer la coubre tracée sur l'intervalle 2$\rm~[-\pi~;~\pi] à l'infini puisque cette intervalle a une longueur de 2$2\pi.

Voili, voilou .
Désolé pour le retard, cet exo m'a pris bien plus de temps que prévu .
Si tu as la moindre question, surtout n'hésite pas .

À +

Posté par
Belge-FDLEre : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 16:08

Pour le premier exercice, est-ce que tu peux me dire à quoi correspond le w à côté du m?
Erreur de frappe?

À +

Posté par bruno_robles (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 16:24

merci bocoup pour ton aide
je n'ai pas de questions car tu as été tres clair dans la résolution
pour l'exercice 1 oui c'est une erreur de frappe le w est a remplacé par x
encore merci

Posté par bruno_robles (invité)re : dérivation --> aidez moi SVP 16-10-04 à 17:29

up

Posté par
Belge-FDLEre : dérivation --> aidez moi SVP 17-10-04 à 00:13

Re-Salut bruno-robles ,

Comme tu peux le voir, je ne t'ai pas oublié . Mais ce premier exercice m'a vraiment ennuyé ... .
Je pense avoir compris la raison des problème qu'il me posait . Alors, c'est parti :

EXECICE 1

Soit la fonction f de paramètre m définie par : 2$\rm~f(x)~=~\frac{x^2+mx}{x^2-1}.

a) Pour quelles valeurs de m, la fonction n'admet t'elle ni maximum, ni minimum?

Voilà, en fait ce qui me posait problème, c'était les termes maximum et minimum. Je pense qu'il ont voulu dire, maximum et minimum dans le sens de maximum et de minimum local et non forcément global.... En effet, tu remarqueras que pour toutes les valeurs de m, f tendra au moins une fois vers 2$+\infty et au moins une fois une fois vers 2$-\infty (en -1- et en -1+ sauf pour m=1, et en 1- et 1+ sauf pour m=-1).
Enfin, on pourra s'en rendre compte au fil de l'exo .

Alors, pour commencer, calculons la dérivée f' de f.
f est dérivable sur 2$\rm~\mathbb{R}-\{-1;1\}, comme quotient de fonctions dérivables sur 2$\rm~\mathbb{R}-\{-1;1\}, et on a :

2$\rm~f(x)~=~\frac{u(x)}{v(x)}~~ie~~f'(x)~=~\frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{(v(x))^2}

avec 2$\rm~u(x)=x^2+mx d'où 2$\rm~u'(x)=2x+m
et   2$\rm~v(x)=x^2-1  d'où 2$\rm~v'(x)=2x

Donc, on a :
2$\rm~f'(x)~=~\frac{(2x+m)(x^2-1)-2x(x^2+mx}{(x^2-1)^2}
2$\rm~f'(x)~=~\frac{2x^3-2x+mx^2-m-2x^3-2mx^2}{(x^2-1)^2}
2$\rm~f'(x)~=~\frac{-2x+mx^2-m-2mx^2}{(x^2-1)^2}
2$\rm~f'(x)~=~\frac{-mx^2-2x-m}{(x^2-1)^2}

CONCLUSION : La dérivée f'de f est égale à : 2$\rm~f'(x)=~\frac{-mx^2-2x-m}{(x^2-1)^2}

Nous allons étudier les variations de f à partir de l'étude du signe de sa dérivée f'.
On a :

2$\rm~f'(x)~\geq~~0
2$\rm~\frac{-mx^2-2x-m}{(x^2-1)^2}~\geq~~0~~~~~~~~donc~x\neq1~et~x\neq-1
2$\rm~-mx^2-2x-m~\geq~~0

On remarque que 2$\rm~-mx^2-2x-m (P) est un polynôme du second degré.

Attention, accroche-toi, ici c'est assez compliqué à comprendre .

Pour qu'un point soit maximum local, il faut qu'avant ce point, la fonction soit croissante, et qu'après ce point, elle soit tout de suite décroissante (et réciproquement, pour qu'un point soit minimum local, il faut que la fonction soit décroissante avant ce point, et croissante après ce même point).

Au niveau de la dérivée, on voit donc qu'un point est un minimum ou un maximum local de la fonction, si avant ce point la dérivée, est négative, et après positive,pour le minimum, ou inversément pour le maximum, en d'autres termes, il s'agit des points d'intersection entre la courbe représentative de la dérivée et l'axe des abcisses (à moins que l'axe des abcisses soit seulement tangeant à la courbe, car dans ce cas là, la dérivée ne changera pas de signe)

Or, le discriminant de (P) est égal à :

2$\rm~\Delta~=~(-2)^2-4(-m)(-m)
2$\rm~\Delta~=~4-4m^2
2$\rm~\Delta~=~4(1-m^2)

Nous savons que la courbe représentative d'un polynôme du second degré est une parabole.
Pour que f n'admette ni maximum ni minimum locaux, il faut donc que cette parabole ne croise pas l'axe des abcisses, ou juste que l'axe des abcisses soit tangeant à cette courbe.
Le polynôme (P) doit donc avoir au plus 1 racine distincte.
Or, nous savons que pour qu'un polynôme présente au plus 1 racine, il faut que son discriminant soit négatif ou nul.
On a :

2$\rm~\Delta~\leq~~0
2$\rm~\4(1-m^2)~\leq~~0
2$\rm~\1-m^2~\leq~~0
2$\rm~\(1-m)(1+m)~\leq~~0

SSI 2$\rm~m~\geq~~1 ou 2$\rm~m~\leq~~-1

CONCLUSION : Pour que f admette un maximum et un minimum locaux, il faut donc que : 2$\rm~m~\in~~]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[


b)Pour quelles valeurs de m, la fonction f admet-elle un maximum et un minimum locaux?
De même, pour que f admette un maximum et un minimum, il faut donc que cette parabole croise deux fois l'axe des abcisses.
Le polynôme (P) doit donc avoir 2 racines distinctes.
Or, nous savons que pour qu'un polynôme présente deux racines distinctes, il faut que son discriminant soit strictement positif.
On a donc :

2$\rm~\Delta~>~0
2$\rm~\4(1-m^2)~>~0
2$\rm~\1-m^2~>~0
2$\rm~\(1-m)(1+m)~>~0

SSI 2$\rm~-1~<~m~<~1

CONCLUSION : Pour que f admette un maximum et un minimum locaux, il faut donc que : 2$\rm~m~\in~~]-1;1[.

Voili, voilou .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par
Belge-FDLEre : dérivation --> aidez moi SVP 17-10-04 à 00:14

J'ai beaucoup écrit là, donc si tu arrives à un peu  synthétiser, je pense que ton prof préfèrera .

À +

Posté par poupouille1406 (invité)erreur pour l exo 2 07-11-04 à 13:02

erreur pour l'exo 2 dans le tableau pour f() n'est pas égal à 3/2 mais à 2/3 !


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