Bonjour,
f et g sont les fonctions définies sur R par f(x)=x^3 et g(x) = 3x+2
1) Tracer à l'écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions f et g. Conjecturer la position relative de ces deux courbes. (Je l'ai fait et je vois que la courbe g est une droite et est au dessus de la courbe f. f(x)<g(x). Il y a aussi une tangente. Je sais pas si c'est bon ?)
2) h est la fonction définie sur R par h(x) = f(x)-g(x)
a. Étudier les variations de la fonction h. ( j'ai fait :
h(x)=x^3-(3x+2)
= x^3-3x-2
h'(x) = 3x^2-3
Delta = b^2-4ac = 0^2-4*3*(-3)= 36 > 0 donc deux racines et j'ai trouvé -1 et 1.
J'ai fait le tableau de variations :
x -infini. -1. 1. +infini
h'(x). +. - +
h(x) flèche haut flèche bas. flèche haut )
b. Calculer h(2)
h(x) = x^3-3x-2
h(2) =2^3-3*2-2
= 8-8
= 0
h(2) = 0
c. En déduire le signe de h(x) et démontrer la conjecture.
la fonction est croissante sur -infini;1, décroissante sur -1:1 et croissante sur 1;+infini. Je n'arrive pas à démontrer la conjecture
Je ne suis pas de ce que j'ai tout écrit. Pouvez vous m'aider.
Je vous remercie
Bonjour,
Pour 1), précise la fenêtre dans laquelle tu as représenté les fonctions.
Une remarque :
On peut calculer mentalement f(10) et g(10)
Je vais regarder 2).
2)a) et b) sont bons ; mais il est inutile d'utiliser un discriminant pour factoriser 3x2 - 3.
Pour 2)c), complète ton tableau de variation en y mettant les valeurs de h(-1), h(1) et h(2).
D'accord merci, je vais le refaire.
pour le 1) excusez moi je comprends pas bien ce que vous dites .
h(x) = x^3-3*(-1)-2. h(1) = 1^3 - 3*1-2
h(-1)= (-1)^3-3*(-1)-2. = 1-3-2 = 1-5=-4
= -1+3-2
=-3+3
= 0
h(2)=0
j'ai un doute pour le tableau de variation, il faut mettre seulement la fonction ou aussi la fonction dérivée dans la première colonne ?
Qu'as-tu conjecturé au 1) finalement ?
Pour 2)c), recopie le tableau de variation de h, sans la ligne de la dérivée.
Et complète le avec h(-1), h(1) et h(2).
h(2)=0
h(-1)=0
h(1)=-4
tableau de variation :
x -infini -1 1. 2 +infini
h(x) flèche vers. 0 flèche vers le bas flèche vers le 0
haut.
le haut 4
Comment vois-tu que la droite qui représente g est au dessus de la courbe de f pour les valeurs positives de x ?
Oui la droite et la courbe ont un point commun d'abscisse 2.
Soit A le point commun d'abscisse 2.
As-tu regardé ce qui se passe à droite du point A ?
C'est à dire pour x > 2.
Oui, les courbes ne s'arrêtent pas, ils passent à l'infini
C'est ce que tu vas démontrer avec le signe de f(x) - g(x), c'est à dire de h(x).
A partir du tableau de variation de h, tu peux trouver le signe de h(x).
Je ne vais plus être disponible avant demain.
Laisse de côté l'exercice et passe un bon réveillon.
A demain.
Bonjour et joyeux Noël !
C'est correct, sauf l'oubli du "moins" devant le 4.
Tu peux ajouter une ligne pour traiter le signe de h(x) demandé au c).
Commence par faire apparaître les zéros de h(x).
x -infini -1 1. 2 +infini
h(x) flèche vers. 0 flèche vers le bas flèche vers le 0
haut.
le haut 4
Signe
de h(x). +. 0. - +.
La fonction h(x) est croissante sur -infini ;1, décroissante sur -1:1 et croissante sur 1;2 ou 1;-infini ? J'ai un doute. C'est pareil pour le tableau de variations, entre 1 et 2 est vide...
Pour la conjecture de la question 1, est ce que je peux dire que les courbes se rencontrent à l'abscisse -1, ce qui démontre le signe de h(x) ?
Il y a un souci pour h(2) = 0, dans la représentation graphique, au moment où les courbes se croisent, ils se trouvent à l'abscisse 2 mais 8 pour l'ordonnée et non 0... Idem pour h(1)=-4 je ne vois pas le point de la courbe qui se trouve à l'ordonnée -4 ? h(-1)= 0 également. Ou c'est moi qui me trompe ou je me confonds...
Tu n'as pas rajouté le "moins" devant 4.
Sinon :
Pourquoi mettre un + dans la première colonne ?
Il faut comprendre que le tableau de variation est une caricature grossière de la courbe.
Une "flèche vers le haut" est une flèche qui monte.
Si on monte pour arriver à 0, peut-on être positif ?
Pour la seconde colonne, une flèche qui descend à partir de 0 et qui va jusqu'à -4 donne bien le signe - que tu as mis.
Pour la suite, on repart de f(1) = -4 pour aller, avec une flèche qui monte, jusque f(2)=0.
Entre -4 et 0, quel est le signe ?
Et enfin, on a une flèche qui continue de monter en partant de f(2) = 0.
On peut en déduire le signe pour h(x) quand x > 2.
oui c'est vrai je me suis trompé j'ai toujours cru si le flèche monte, le signe doit être positif. Merci pour votre remarque pour l'oubli d'ajouter le "moins" devant 4
Sinon cela fait
x. -infini. -1. 1. 2. +infini
Signe de - 0 - 0 +. 0. +
h(x)
Pour démontrer la conjecture. Je ne sais pas si c'est bon : Les courbes ont un point commun d'abscisse 2, ce qui correspond au signe de h(x) où 2 est positif. La courbe g étant au dessus de la courbe f entre -1 et 2 (au moment où ils se croisent) correspond au signe négatif entre -1 et 1.
Dans mon messge de 16h48, j'ai mis du f au lieu de h.
Je rectifie :
Le signe de h(x) se déduit du tableau de variation de la fonction h.
Je tente une autre manière de te faire comprendre comment.
D'après le tableau de variation de la fonction h, quel est le maximum de h(x) sur l'intervalle ]- ; 1] ?
le maximum de h(x) sur cet intervalle est 0
Donc le reste est en dessous...
Plus précisément :
Un maximum est la plus grande valeur atteinte.
Les autres valeurs sont donc inférieures ou égales.
Sur l'intervalle ]- ; 1] la plus grande valeur de h(x) est 0.
Donc les autre valeurs de h(x) sont inférieures ou égales à 0.
Ce qui peut s'écrire h(x) 0.
Ou peut aussi se dire "h(x) est négatif ou nul".
Le minimum est -4 c'est la plus petite valeur les autres valeurs sont supérieures ou égales mais comment t on l'écrire ?
Sépare les intervalles [1;2] et [2;+[.
Tu as commencé avec [2;+[ :
Messages croisés.
Sur [1:2], le minimum est -4 qui est la plus petite valeur. La fonction de h(x) sur cet intervalle est négatif ?…
Oui.
Je fais une synthèse de ce que l'on peut lire sur le tableau de variation de h :
Pour x < -1 on a h(x) < 0
h(-1) = 0
Pour -1 < x < 1 on a -4 < h(x) < 0
h(1) = -4
Pour 1 < x < 2 on a -4 < h(x) < 0
h(2) = 0
Pour x > 2 on a h(x) > 0
Inutile d'écrire tout ça ; mais essaye de bien le comprendre.
Je ne vais plus être disponible avant demain.
Pour la conjecture à démontrer, commence par te demander où les points communs aux deux courbes se lisent sur le tableau de signe de h(x).
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