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Dérivation = conjecture et démonstration

Posté par
louis222
24-12-22 à 17:14

Bonjour,

f et g sont les fonctions définies sur R par f(x)=x^3 et g(x) = 3x+2

1) Tracer à l'écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions f et g. Conjecturer la position relative de ces deux courbes. (Je l'ai fait et je vois que la courbe g est une droite et est au dessus de la courbe f. f(x)<g(x). Il y a aussi une tangente. Je sais pas si c'est bon ?)

2) h est la fonction définie sur R par h(x) = f(x)-g(x)
      a. Étudier les variations de la fonction h. ( j'ai fait :
h(x)=x^3-(3x+2)
         = x^3-3x-2
h'(x) = 3x^2-3

Delta = b^2-4ac = 0^2-4*3*(-3)= 36 > 0 donc deux racines et j'ai trouvé -1 et 1.

J'ai fait le tableau de variations :

x          -infini.                            -1.                         1.                          +infini

h'(x).                             +.                           -                             +

h(x)     flèche haut                       flèche bas.                flèche haut )


      b. Calculer h(2)

h(x) = x^3-3x-2
h(2) =2^3-3*2-2
          = 8-8
          = 0
h(2) = 0  

       c. En déduire le signe de h(x) et démontrer la conjecture.

la fonction est croissante sur -infini;1, décroissante sur -1:1 et croissante sur 1;+infini. Je n'arrive pas à démontrer la conjecture

Je ne suis pas de ce que j'ai tout écrit. Pouvez vous m'aider.

Je vous remercie




Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 17:31

Bonjour,
Pour 1), précise la fenêtre dans laquelle tu as représenté les fonctions.
Une remarque :
On peut calculer mentalement f(10) et g(10)

Je vais regarder 2).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 17:38

2)a) et b) sont bons ; mais il est inutile d'utiliser un discriminant pour factoriser 3x2 - 3.

Pour 2)c), complète ton tableau de variation en y mettant les valeurs de h(-1), h(1) et h(2).

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 17:45

D'accord merci, je vais le refaire.

pour le 1) excusez moi je comprends pas bien ce que vous dites .

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 17:46

pour le 1) je crois que c'est bon

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 17:57

C'est à dire ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 18:06

h(x) = x^3-3*(-1)-2.              h(1) = 1^3 - 3*1-2
h(-1)= (-1)^3-3*(-1)-2.                  = 1-3-2 = 1-5=-4
          = -1+3-2
          =-3+3
          = 0

h(2)=0

j'ai un doute pour le tableau de variation, il faut mettre seulement la fonction ou aussi la fonction dérivée dans la première colonne ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 18:33

Qu'as-tu conjecturé au 1) finalement ?

Pour 2)c), recopie le tableau de variation de h, sans la ligne de la dérivée.
Et complète le avec h(-1), h(1) et h(2).

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 18:45

h(2)=0
h(-1)=0
h(1)=-4

tableau de variation :

x           -infini                                  -1                                     1.                                          2                           +infini

h(x)                 flèche vers.           0     flèche vers le bas             flèche vers le 0
                                                                                                                                   haut.
                              le haut                                                             4

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 18:46

Pour le 1) vous m'avez demandé de préciser la fenêtre mais ça n'a pas changé ou je me trompe ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 18:54

Comment vois-tu que la droite qui représente g est au dessus de la courbe de f pour les valeurs positives de x ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 18:56

Tu as trouvé h(2) = 0.
Ça signifie que f(2) = g(2).
Le vois-tu sur l'écran de ta calculatrice ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:04

Sylvieg @ 24-12-2022 à 18:56

Tu as trouvé h(2) = 0.
Ça signifie que f(2) = g(2).
Le vois-tu sur l'écran de ta calculatrice ?


Oui, au moment où la droite g et la courbe f se croisent

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:09

Oui la droite et la courbe ont un point commun d'abscisse 2.

Citation :
la courbe g est une droite et est au dessus de la courbe f.
Es-tu toujours d'accord avec ceci ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:10

Sylvieg @ 24-12-2022 à 19:09

Oui la droite et la courbe ont un point commun d'abscisse 2.
Citation :
la courbe g est une droite et est au dessus de la courbe f.
Es-tu toujours d'accord avec ceci ?


Oui, exactement

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:15

Soit A le point commun d'abscisse 2.
As-tu regardé ce qui se passe à droite du point A ?
C'est à dire pour x > 2.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:16

Tu dis que les courbes se croisent...

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:19

Oui, les courbes ne s'arrêtent pas, ils passent à l'infini

Sylvieg @ 24-12-2022 à 19:15

Soit A le point commun d'abscisse 2.
As-tu regardé ce qui se passe à droite du point A ?
C'est à dire pour x > 2.

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:20

Sylvieg @ 24-12-2022 à 19:16

Tu dis que les courbes se croisent...


Au moment où ils se croisent, la courbe g n'est plus au dessus de la courbe f

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:23

C'est ce que tu vas démontrer avec le signe de f(x) - g(x), c'est à dire de h(x).
A partir du tableau de variation de h, tu peux trouver le signe de h(x).

Je ne vais plus être disponible avant demain.
Laisse de côté l'exercice et passe un bon réveillon.
A demain.

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 24-12-22 à 19:32

louis222 @ 24-12-2022 à 18:45

h(2)=0
h(-1)=0
h(1)=-4

tableau de variation :

x           -infini                                  -1                                     1.                                          2                           +infini

h(x)                 flèche vers.           0     flèche vers le bas             flèche vers le 0
                                                                                                                                   haut.
                              le haut                                                             4



Est ce correct ?

Bon réveillon à vous aussi.
À demain

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 07:51

Bonjour et joyeux Noël !
C'est correct, sauf l'oubli du "moins" devant le 4.
Tu peux ajouter une ligne pour traiter le signe de h(x) demandé au c).
Commence par faire apparaître les zéros de h(x).

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 11:35

x           -infini                                  -1                                     1.                                          2                           +infini

h(x)                 flèche vers.           0     flèche vers le bas             flèche vers le 0
                                                                                                                                   haut.
                              le haut                                                             4

Signe
de h(x).                   +.                      0.                     -                                               +.


La fonction h(x) est croissante sur -infini ;1, décroissante sur -1:1 et croissante sur 1;2 ou 1;-infini ? J'ai un doute.  C'est pareil pour le tableau de variations, entre 1 et 2 est vide...

Pour la conjecture de la question 1, est ce que je peux dire que les courbes se rencontrent à l'abscisse -1, ce qui démontre le signe de h(x) ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 12:35

Il y a un souci pour h(2) = 0, dans la représentation graphique, au moment où les courbes se croisent, ils se trouvent à l'abscisse 2 mais 8 pour l'ordonnée et non 0... Idem pour h(1)=-4 je ne vois pas le point de la courbe qui se trouve à l'ordonnée -4 ? h(-1)= 0 également. Ou c'est moi qui me trompe ou je me confonds...

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 16:11

louis222 @ 25-12-2022 à 12:35

Il y a un souci pour h(2) = 0, dans la représentation graphique, au moment où les courbes se croisent, ils se trouvent à l'abscisse 2 mais 8 pour l'ordonnée et non 0... Idem pour h(1)=-4 je ne vois pas le point de la courbe qui se trouve à l'ordonnée -4 ? h(-1)= 0 également. Ou c'est moi qui me trompe ou je me confonds...


Non, c'est bon. J'ai fait x^3-"x-2 dans la calculatrice. C'est une autre représentation graphique qui correspond aux calculs

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 16:48

Tu n'as pas rajouté le "moins" devant 4.
Sinon :

Pourquoi mettre un + dans la première colonne ?
Il faut comprendre que le tableau de variation est une caricature grossière de la courbe.
Une "flèche vers le haut" est une flèche qui monte.
Si on monte pour arriver à 0, peut-on être positif ?

Pour la seconde colonne, une flèche qui descend à partir de 0 et qui va jusqu'à -4 donne bien le signe - que tu as mis.

Pour la suite, on repart de f(1) = -4 pour aller, avec une flèche qui monte, jusque f(2)=0.
Entre -4 et 0, quel est le signe ?

Et enfin, on a une flèche qui continue de monter en partant de f(2) = 0.
On peut en déduire le signe pour h(x) quand x > 2.

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 17:17

oui c'est vrai je me suis trompé j'ai toujours cru si le flèche monte, le signe doit être positif. Merci pour votre remarque pour l'oubli d'ajouter le "moins" devant 4

Sinon cela fait  


x.                  -infini.            -1.                    1.                 2.                +infini


Signe de                -             0            -       0          +.      0.        +
h(x)                      


Pour démontrer la conjecture. Je ne sais pas si c'est bon : Les courbes ont un point commun d'abscisse 2, ce qui correspond au signe de h(x) où 2 est positif. La courbe g étant au dessus de la courbe f entre -1 et 2 (au moment où ils se croisent) correspond au signe négatif entre -1 et 1.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 17:29

Citation :
j'ai toujours cru si le flèche monte, le signe doit être positif.
C'est sans doute une confusion entre le signe de la dérivée et le signe de la fonction.
Une flèche qui monte correspond à une fonction croissante ; donc à une dérivée positive.

Je détaille pour l'intervalle [2;+[.
h'(x) est strictement positif sur [2;+[.; donc la fonction h est croissante stricte sur [2;+[.
Rappel définition fonction croissante stricte :
Si a < b alors f(a) < f(b).
D'où : si 2 < x alors f(2) < f(x).
Ce qui donne : Si x > 2 alors f(x) > 0.

Sinon, h(1) n'est pas égal à 0 :
h(1) = -4.

On parlera de la conjecture quand le signe de h(x) sera trouvé.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 17:33

Dans mon messge de 16h48, j'ai mis du f au lieu de h.
Je rectifie :

Citation :
on repart de h(1) = -4 pour aller, avec une flèche qui monte, jusque h(2)=0.
Entre -4 et 0, quel est le signe de h(x)?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 17:45

Excusez moi madame, je suis vraiment perdue. Comment trouver le signe de h(x) ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 17:49

Signe de h(x)
Si h(x)>0 alors [1:+infini[

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:12

Le signe de h(x) se déduit du tableau de variation de la fonction h.
Je tente une autre manière de te faire comprendre comment.
D'après le tableau de variation de la fonction h, quel est le maximum de h(x) sur l'intervalle ]- ; 1] ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:14

louis222 @ 25-12-2022 à 17:49

Signe de h(x)
Si h(x)>0 alors [1:+infini[
Il me semble que, là encore, tu confonds la fonction h avec sa dérivée h'.

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:17

le maximum de h(x) sur cet intervalle est 0

Sylvieg @ 25-12-2022 à 18:12

Le signe de h(x) se déduit du tableau de variation de la fonction h.
Je tente une autre manière de te faire comprendre comment.
D'après le tableau de variation de la fonction h, quel est le maximum de h(x) sur l'intervalle ]- ; 1] ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:35

Donc quel est le signe de h(x) sur l'intervalle ]- ; 1] ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:36

le signe de h(x) sur cet intervalle est positif

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:45

Que signifie pour toi le mot maximum ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:49

Quand on trouve un point le plus haut

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 18:55

Donc le reste est en dessous...
Plus précisément :
Un maximum est la plus grande valeur atteinte.
Les autres valeurs sont donc inférieures ou égales.

Sur l'intervalle ]- ; 1] la plus grande valeur de h(x) est 0.
Donc les autre valeurs de h(x) sont inférieures ou égales à 0.
Ce qui peut s'écrire h(x) 0.
Ou peut aussi se dire "h(x) est négatif ou nul".

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:06

Mais pour x>2 [2:+infini[ il n'y pas de maximum.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:07

Oui, mais il y a un minimum

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:13

Le minimum est -4 c'est la plus petite valeur les autres valeurs sont supérieures ou égales mais comment t on l'écrire ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:19

Sur [2:+infini[ la fonction h(x) est positive

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:21

Sépare les intervalles [1;2] et [2;+[.

Tu as commencé avec [2;+[ :

louis222 @ 25-12-2022 à 19:06

Mais pour x > 2 [2:+infini[ il n'y pas de maximum.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:22

Messages croisés.

louis222 @ 25-12-2022 à 19:19

Sur [2:+infini[ la fonction h(x) est positive
Oui, car le minimum est 0.

Termine avec l'intervalle [1;2].

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:25

Sur [1:2], le minimum est -4 qui est la plus petite valeur. La fonction de h(x) sur cet intervalle est négatif ?…

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:30

Sur [1:2], le minimum est bien -4 ; mais ce n'est pas très intéressant.
Quel est le maximum ?

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:31

le maximum est 0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:39

Oui.
Je fais une synthèse de ce que l'on peut lire sur le tableau de variation de h :
Pour x < -1 on a h(x) < 0
h(-1) = 0
Pour -1 < x < 1 on a -4 < h(x) < 0
h(1) = -4
Pour 1 < x < 2 on a -4 < h(x) < 0
h(2) = 0
Pour x > 2 on a h(x) > 0

Inutile d'écrire tout ça ; mais essaye de bien le comprendre.

Je ne vais plus être disponible avant demain.
Pour la conjecture à démontrer, commence par te demander où les points communs aux deux courbes se lisent sur le tableau de signe de h(x).

Posté par
louis222
re : Dérivation = conjecture et démonstration 25-12-22 à 19:48

Les courbes ont un point commun d'abscisse 2 au moment où ils se croisent

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