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Dérivation d'une intégrale

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
03-12-13 à 13:55

Yop tout l'monde.
Je voudrais dériver l'intégrale suivante par rapport à x mais sans la calculer :
(x-t)²exp(t)dt (intégrale de 0 à x)

Remplacer la variable d'intégration par la borne dans la fonction à intégrer ne marche pas à prioris. A cause du x à l'intérieur de l'intégrale je suppose ? C'est une intégrale dépendant d'un paramètre ?

Merci d'avance.

Posté par
Barney
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 13:58

Bonjour,

avec qq précautions d'usage, dériver une intégrale,
c'est comme prendre la racine carrée d'un carré...
bizarre ta question

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 14:01

Yop.
ça donnerait quoi du coup ?
Parce que normalement, je suis censé trouver : exp(x)-x-1

Posté par
Barney
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 14:24

stp, pourrais tu recopier l'énoncé de manière exacte et intégrale ?

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 14:32

En fait, on ne me demande pas de dériver l'intégrale. Mais moi j'voudrais savoir comment on fait dans ce cas car la borne d'intégration figure dans la fonction à intégrer.
Si je demande par exemple de dériver (l'intégrale de 0 à x) tdt, ben normalement c'est x.
Mais là c'est différent, si je remplace t par x je trouve un résultat erroné, 0 en l'occurrence.
Or je peux trouver la dérivée, il suffit de calculer l'intégrale avec 2 IPP puis de dériver, et j'arrive à exp(x)-x-1.

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 14:33

Et l'intégrale c'est : I(x)=(x-t)²exp(t)dt (L'intégrale de 0 à x)
(Désolé de pas utiliser latex mais je galère à mort avec )

Posté par
Barney
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 14:35

tu confonds ou utilise à tort des termes
si on dérive, on n'intègre pas
si on intègre, on ne dérive pas

revois les définitions de dérivée, de primitive, d'intégrale stp

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 14:44

Je m'exprime probablement mal, si quelqu'un m'a compris ça serait sympa d'me corriger.

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 17:12

Bon, j'vais reformuler tout ça.

Soit F la fonction définie pour tout x de R comme ceci :
F(x)=\int_0^{x} (x-t)²e^t dt

Calculer F'(x). (Ou encore dF/dx)

Posté par
Labo
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 17:28

Bonsoir,
indice:  la dérivée de F(x) est  donnée dans l'énoncé

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 17:41

J'go chercher la corde, parce que là j'vois pas du-tout.

Posté par
alb12
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 18:05

"Je voudrais dériver l'intégrale suivante par rapport à x mais sans la calculer"
sans calcul je ne vois pas
on peut poser u=x-t, calculer l'integrale de 0 à x puis deriver le resultat.
sous toute reserve je trouve 2*exp(x)-2*x-2

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 18:15

Oui ton résultat est le bon, j'avais oublié le 2.
Mais ça revient toujours à calculer l'intégrale.

Posté par
alb12
re : Dérivation d'une intégrale 03-12-13 à 22:06

Labo semble avoir la solution ...

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 13:00

Comme tu le dis. Je serais curieux de voir.
D'après mes souvenirs, il y'a une formule de dérivation des intégrales de ce type mais je ne suis pas sûr. Je crois que ça consiste à dériver la fonction à intégrer par rapport à x.

Posté par
Labo
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 19:18

Citation :
Comme tu le dis. Je serais curieux de voir.

cours
soit a , un réel de l'intervalle I et f une fonction continue sur I.
L'unique primitive de F de f telle que F(a)=0 est définie par
\forall x\into I, F(x)=\int_a^xf(t)dt
 \\
remarque si  \forall x\into I, F(x)=\int_a^x f(t)dt,  alors  F  est   dérivable    dans   I  et   F'=f
si on a oublié  son cours  alors
on cherche une primitive
\int(x-t)^2e^t dt=(x-t)^2e^t+ 2 \int(x-t)e^t dt=

(x-t)^2e^t+ 2(x-t)e^t +2\int e^t dt=

(x-t)^2e^t+ 2(x-t)e^t +2e^t +constante=
e^t((x-t)^2+2(x-t) +2)+ constante

et on dérive ...

e^t((x-t)^2+2(x-t) +2-2(x-t)-2)+constante= e^t(x-t)^2
 \\

Posté par
Labo
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 20:03

corrige l'erreur de" copié collé" de la dernière ligne
e^t((x-t)^2+2(x-t) +2-2(x-t)-2)= e^t(x-t)^2
 \\

Posté par
alb12
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 21:27

Je suis dubitatif ...
1/ ... et donc la reponse depend de t ? Cela n'a aucun sens !
2/ nous savons le faire (sans erreur) à partir d'une primitive. Nous avons trouvé 2*exp(x)-2*x-2.
3/ la question de Rat-Sin-Car-Et est de savoir s'il existe une methode plus rapide.

Posté par
Labo
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 22:23




  je répondais à cette question

Citation :
Bon, j'vais reformuler tout ça.

Soit F la fonction définie pour tout x de R comme ceci :
F(x)=\int_0^{x} (x-t)²e^t dt

Calculer F'(x).

et non à
\int_0^x(x-t)^2e^t dt

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 22:50

Bah c'est la même question. Je sais pas si t'as vu le ' à côté du F.
Je sais calculer F. Ce que je voulais, c'était calculer F' sans passer par F.

Posté par
Labo
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 23:02

Citation :
Je sais pas si t'as vu le ' à côté du F.

\red je  l'ai  vu

Je sais pas si tu as lu ceci
si  \forall x\in I, F(x)=\int_a^x f(t)dt,  alors  F  est   dérivable    dans   I  et \red  F'=f[/tex]

dernier message

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 23:14

Oui je l'ai lu.
Mais j'veux bien que tu appliques cette formule à ce cas.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Dérivation d'une intégrale 04-12-13 à 23:43

Bonsoir,

Citation :
Je voudrais dériver l'intégrale suivante par rapport à x mais sans la calculer :


On peut, sous certaines conditions (hypothèse de domination et continuité), la calculer en dérivant sous le signe intégrale.

Mais cela sort largement du cadre du lycée.

Pour ton information, tu peux faire une recherche avec les mots clés "dérivation intégrale à paramètre"

>> Labo

Citation :
cours
soit a , un réel de l'intervalle I et f une fonction continue sur I.
L'unique primitive de F de f telle que F(a)=0 est définie par
\forall x\into I, F(x)=\int_a^xf(t)dt
 \\
remarque si  \forall x\into I, F(x)=\int_a^x f(t)dt,  alors  F  est   dérivable    dans   I  et   F'=f


Oui, c' est ce qu' on voit au lycée mais ici la variable x figure aussi sous le signe intégrale et ça n' a rien à voir avec les primitives vues en terminale...

Posté par
alb12
re : Dérivation d'une intégrale 05-12-13 à 05:33

la recherche indiquée par cailloux donne:

F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,y)~\mathrm dy
F'(x)=f(x, b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}{\partial f\over \partial x}(x,y)~\mathrm dy

Posté par
Rat-Sin-Car-Et
re : Dérivation d'une intégrale 05-12-13 à 05:58

J'avais le cours que cailloux m'a donné mais je ne l'ai jamais utilisé. Et c'est bien ce que je pensais, c'est une intégrale à paramètre. J'avais mentionné ça dans les premiers posts. Par contre, je ne connais que la formule ou les bornes d'intégrations son fixes. Celles des dérivées partielles me dit quelque chose mais je ne l'ai jamais utilisée.

Merci tout l'monde.

Posté par
Hypochlorite
re : Dérivation d'une intégrale 01-01-19 à 20:48

Il suffit de développer le terme puis sortir le x car l'intégrale n'en dépend pas. Pui dérivé le truc obtenu. C'est le début la flemme de tout écrire ^^
f\left(x \right)=\int_{0}^{x}{\left(x-t \right)²\exp \left(t \right)dt} =x²\int_{0}^{x}{\exp t} ...



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