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Dérivation et continuité
Bonsoir, j'ai un exercice à faire mais je ne suis pas sûre de mon travail:
1. Montrer que l'équation 2x3-3x2-1=0 admet une unique solution, notée α, et que cette solution est comprise entre 1,6 et 1,7.2.
On considère la fonction f, définie sur ]-inf;-1[U]-1;+inf[ par:
f(x)=(1-x)/(1+x3)
a. Étudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
c. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 et étudier la position de la courbe par rapport à cette tangente
d. Représenter graphiquement la fonction f et la tangente.
pour la 1, j'ai calculé la dérivée et ai fait un tableau de signe et de variation ( avec delta , etc...) ensuite pour montrer qu'il y a une solution unique j'ai montrer que la fonction est continue car elle est polynôme, et qu'elle est monotone sur ]1:+inf[ (1 est une racine) et qu'il y a un changement de signe f(1)=-2 et f(2)=3
et j'ai calculé f(1.6) et f(1.7) et il y a n changement de signe donc c'est bon
pour la 2a, j'ai trouvé les limites et j'ai vérifié avec wolfram alpha donc c'est bon
pour la 2b je suis pas sûre mais j'ai d'abord calculé la dérivé et j'ai trouvé
(2x3-3x2-1)/((1+x3)2)
donc pour le tableau on a ça: (2x3-3x2-1=la 1ère fonction donc)
x -inf alpha +inf
2x3-3x2-1 - 0 +
f(x) Décroissant (1-alpha) croissant
/(1+alpha)
2c, j'ai fait y=f'(0)(x-0)+f(0)
y=-x+1 mais je ne comprends pas cette phrase " étudier la position de la courbe par rapport à cette tangente"
merci d'avance
Bonsoir
regarde déjà cette fiche 
Etude de la position relative de deux courbes
je pense que cela va t'éclairer sur ces problèmes de position relative
Ensuite quelqu'un te viendra en aide
j'ai fait h(x)= f(x)-tan= (x4-x3)/(1+x3)
j'ai calculé h'(x)=(x2(x4+4x-3))/((1+x3)2)
et on trouve que h'(x) est toujours positif donc la tangente est au dessus de la courbe
Bonsoir,
1) à monotone, rajoute "strictement" sinon l'unicité n'est pas assurée. Et puis, précise le sens de variation.
2)b) la fonction n'est pas définie en - 1, donc le tableau ne va pas. D'ailleurs, tu n'as donné que le signe du numérateur, il faut mentionner celui du dénominateur
Et limite en - 1 oubliée en 2)a) ?
Je regarde le 2) c)
h(x)= f(x)-tan= (x4-x3)/(1+x3)
le tan ne convient pas : tan désigne la fonction tangente en trigo.
Ecris plutôt : h(x) = f(x) - (1 - x)
Ton résultat est juste mais tu cherches le signe de h(x) et non celui de sa dérivée.
pour la 2c j'ai changé, je factorise par x2 donc on a :
(x2(x2-x))/(1+x3) et ensuite je fais le tableau de signe
x2 est toujours positif
x2-x je calcule delta et les racines
pour la 2b:
x -inf -1 alpha +inf
2x^3-3x^2-1 - - 0 +
(1+x^3)^2 + 0 + +
f(x) Déc // déc 2a^3-3a^2-1 croissant
D'accord avec tes limites et ton nouveau tableau de variation, sauf f(
) qui vaut je ne sais trop quoi (je n'ai pas regardé) mais pas 2^3- 3² - 1. Embrouillamini avec la question 1) : ce serait égal à 0 alors.
Puis : x4 - x3 = x3 (x - 1) : ça va plus vite.
ah oui c'est vrai c'est 0, pour la 2c il me semble plus logique de ne pas intégrer x^3+1 dans le tableau de variation
ça se catapulte un peu ...
la première partie de mon dernier message s'appliquait au 2) b)
2c) Oui, il faut tenir compte de x3 - 1 qui est au dénominateur de h(x) . Et ton dernier tableau de signes est juste à part // en - 1 (dénominateur = 0)
x -inf 0 1 +inf
x^3 - 0 + +
x-1 - - 0 +
h(x) + 0 - 0 +
donc f est au dessus de T ]-inf;0[
f est au dessous de T ]0;1[
f est au dessus de T ]1;+inf[
ça se catapulte un peu ...
Et ton dernier tableau de signes est juste à part // en - 1 (dénominateur = 0)
oui donc on doit mettre une double barre non? // pour moi c'était double barre parce qu'on ne peut pas diviser par 0
Dernières remarques :
- même si tu ne vois pas la factorisation par x3, tu peux remarquer que x² - x = x(x - 1). Donc, sans besoin de discriminant, les racines sont 0 et 1.
- Il faut peut-être justifier que le dénominateur a pour seule racine - 1, et aussi son signe.
je viens de recevoir votre message donc ce que j'ai envoyé est faux
Pas faux, juste une inexactitude.
x -inf -1 0 1 +inf
x^3 - - 0 + +
x-1 - - - 0 +
x^3+1 - 0 + + +
h(x) - 0 + 0 - 0 +
c'est bon? (il me semble que c'est faux parce que quand je visualise ça sur ma calculatrice je n'ai pas ça (je parle plus précisément du signe ]-inf;-1[=
oui donc on doit mettre une double barre non? // pour moi c'était double barre parce qu'on ne peut pas diviser par 0
Eh bien oui, double barre en -1 car le dénominateur vaut 0 si x = - 1
c'est bon? (il me semble que c'est faux parce que quand je visualise ça sur ma calculatrice je n'ai pas ça (je parle plus précisément du signe ]-inf;-1[=
Je revois cela ....
x -inf -1 0 1 +inf
x^3 - - 0 + +
x-1 - - - 0 +
x^3+1 - 0 + + +
h(x) - // + 0 - 0 +
donc f est au dessous de T ]-inf;-1[
donc f est au dessus de T ]-1;0[
f est au dessous de T ]0;1[
f est au dessus de T ]1;+inf[
et maintenant?
ça me parait bon. Juste signaler les points d'intersection.
Et pour le vocabulaire Cf (la courbe représentative de f) et non f ....est au dessus ou en dessous de T ...
le premier point : (0;1)
2eme point : (1;0) ?
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