Bonjour
qu'as-tu fabriqué
dérivée d'un produit (u*v)'=u' * v + u * v'
utilise * pour multiplier

Ici, on a
u = (1-2x)      u' = -2
v= e^2x     v' = 2e^2x

Donc
f'(x)= -2 (e^2x) + (1-2x) (2e^2x)

oui, mets ton exponentielle en facteur maintenant !

ah oui d'accord, moi j'avais essayer de développer ^^

donc sa fait :
f'(x)= e^2x[(-2+1-2)

non, tu as perdu des x en route
fais ça correctement please....

f'(x)= e^2x [-2+1-2x-2]

= e ^2x [1-2x]

excusez moi c'est
c'est e^-2 [-3-2x]

e^-2x [-3-2x]

c'est ça svp ?

désolé pour mes maladresses

est ce que ma première dérivée est correcte maintenant svp?

ben toujours pas....grrr...

Je pense avoir trouvé

e^2x (-4x)

Pour la deuxième dérivée
je trouve :

f''(x)= e^2x ( -8x-4)

c'est ça ?

oui !

D'accord merci

La deuxième question c'est que je dois démontrer par récurrence que pour n1 ,   f⁽ⁿ⁾ (x) = 2ⁿ(1-n-2x) e ^2x


Donc pour l'initialisation je comme a n= 1

donc je prend la première dérivée ?

*je commence

oui, c'est à dire f'(x)

D'accord donc

initialisation :
f'(x)=e^2x (-4x)

je remplace x par1 ?

Ou je dois remplacer dans ce qu'on doit démontrer svp ?

non....
tu dois vérifier que cette écriture de la dérivée correspond à f⁽ⁿ⁾ (x) = 2ⁿ(1-n-2x) e ^2x lorsque n=1

Donc pour l'initialisation :
j'ai f¹ (x)= 2¹ (1-1-2x) e^2x = f'(x)

Hérédité :
Pour n=k
2^k (1-k-2x) e^2x

On doit démontrer :
2^k+1 (1-(k+1)-2x)e^2x


c'est ça l'hérédité ?:/

alors tu dois donc partir de
2^k (1-k-2x) e^2x

et la dériver
et il te faudra montrer que cela peut bien s'écrire 2^k+1 (1-(k+1)-2x)e^2x

voilà !

2^k (1-k-2x) e^2x

Je multiplie par 2 :


2 k+1 ( 2-(k+1) -4x) 2e^2x

Après je sais pas comment faire svp

non....tu dois dériver , je l'ai dit

est ce que je peux posais :
u =2^k (1-k-2x)
et v = e^2x

Ou je dois séparer chaque terme ?

oui, tu peux faire ainsi (mais 2^k est une constante multiplicative, tu peux la laisser devant...)

Je pose u = 1-k-2x
et v= e^2x

Je sais pas si ça c'est bon aussi : u'= -k-2
v'=2 e^2x

En faite je sais pas trop quoi faire du k, c'est pour ça que je ne suis pas sur :/

non
k est une constante au même titre que 2 ou 5
quand tu le dérives ça fait 0

donc si je dérivée 2^k, j'obtiens 0 ?

si tu as 2^k multiplié par quelque chose
c'est une constante multiplicative
et elle va rester !
exemple
quand tu dérives 2x³, tu dis que c'est 2*3x²...OK ?

Donc j'obtiens :

2^k(-2 e^2x + (1-k-2x) (2e^2x ?

c'est bon ça ? svp

oui, TB, avec 2 parenthèses fermantes à la fin

oui ^^ merci

2^k ( -2e^2x + (1-k-2x)2e^2x))

2^k (e^2x(-2+2-2k-4x))

2^k(e^2x(-2k-4x))

c'est toujours bon?!

toujours bon
(mets un oeil sur l'écriture vers laquelle tu veux aller pour savoir comment transformer maintenant)

J'ai multiplié par 2, mais je suis arrivé avec un 8x :/

Je vois pas comment faire :

2^k+1 (-2(k+1) - 8x)e^2x

tu n'as pas le droit...tu dois avoir des signes =....

2^k(e^2x(-2k-4x)) = 2^k(e^2x(2(-k-2x)))

= 2^k*2*(e^2x(-k-2x))

tu comprends ça et tu termines...

2^k+1 (2e^2x - (k+1) -2x)

c'est ça ? Je dois donc multiplier la parenthèse par 2?

non
le 2 devant, tu viens de le faire rentrer dans l'exposant
faut surtout plus le distribuer sur la parenthèse....


= 2^k*2*(e^2x(-k-2x))

= 2^k+1*(e^2x(-k-2x))

D'accord mais je dois avoir un k+1 dans ma parenthèse donc il faut que je multiplie encore par 2 mais je ne vois pas où svp

-k-1+1

je n'ai pas compris :/

oui à la fin je dois avoir (1-(k+1)-2x) dans la parenthèse mais je sais pas comment

oui, et on en était là

= 2^k+1*(e^2x(-k-2x))

regarde bien ce que tu as écrit ! ce n'est pas égal par hasard pour la parenthèse ?

donc je peux transformer

2^k+1(e^2x(-k-2x))
en
2^k+1 (1-(k+1)-2x)e^2x

direct ?

bien sûr !

D'accord merci beaucoup !!

Dernière question svp, comment je peux montrer que f⁽ⁿ⁾ admet un max qui vaut (2/e)ⁿ pour n1 ?

Merci

regarde si ta dérivée s'annule, et si c'est bien un max (avec les signes de la dérivée autour de la valeur )
c'est un simple polynôme du 1er degré qui doit s'annuler
pas compliqué

Je dois étudier le signe de 1-n-2x

mais je fais comment après avoir passé le n à droite ?:/