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dérivée

Posté par trigo (invité) 04-04-06 à 22:14

Oui bonjour g un petit problème car je voudrait savoir qu'elle est la dérivée de la variance c'est-à-dire de :

      n                                n
f(x)=(xi-x)^2ni/ni
      i=1                              i=1

on note x la moyenne de la série statistique dont les valeurs sont x1, x2,..., xn et les effectifs n1, n2, ..., nn.
donc ici je veux juste savoir la dérivée de f(x) : f'(x). puis f''(x) la dérivée de f'(x).
je vous en remercie d'avance.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : dérivée 05-04-06 à 11:34

Bonjour,

Remarque : la dérivée de la variance ne veut rien dire, puisque la variance est une constante. Dans l'expression de 3$f(x), 3$x ne désigne plus la moyenne des 3$x_i mais une variable réelle.
Mais on sait que 3$V(X)=f(\bar{X}) où 3$\bar{X} est la moyenne des 3$x_i

D'autre part, je suis un peu surpris que tu ne saches pas dériver un carré en Terminale.

Si 3$f(x)=\frac{\Bigsum_{i=1}^nn_i(x_i-x)^2}{\Bigsum_{i=1}^nn_i}

Alors 3$f'(x)=\frac{\Bigsum_{i=1}^n-2n_i(x_i-x)}{\Bigsum_{i=1}^nn_i}=-2\bar{X}+2x

Remarque : en intégrant, on retrouve :
3$f(x)=-2\bar{X}x+x^2+constante
Or 3$f(0)=\bar{X^2}
Donc 3$f(x)=-2\bar{X}x+x^2+\bar{X^2}
En prenant 3$x=\bar{X}, il vient :
3$V(X)=-2(\bar{X})^2+(\bar{X})^2+\bar{X^2}
3$V(X)=\bar{X^2}-(\bar{X})^2
et on retrouve l'autre expression de la variance.

3$f''(x)=2

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
littleguyre : dérivée 05-04-06 à 11:41

Bonjour Nicolas_75

Peut-être trigo voulait-il démontrer que la fonction f que tu as présentée est minimale lorsque \tex x=\bar{x}, et que ce minimum est égal à la variance (démonstration au programme de 1ère)


Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : dérivée 05-04-06 à 12:10

Bonjour littleguy !
Je comprends mieux. Dans ce cas, mon message contient tous les ingrédients pour le montrer.

Nicolas

Posté par
littleguyre : dérivée 05-04-06 à 12:31

Oui

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : dérivée 16-04-06 à 08:51

littleguy, je reviens sur ce message.

Pour montrer le résultat que tu évoques à 11h41, il est en fait inutile de dériver. Il suffit de remarquer que :

3$f(t)=\overline{\left(X-t\right)^2}
3$=\overline{X^2}-2t\overline{X}+t^2
3$=\left(\overline{X}-t\right)^2+\overline{X^2}-\left(\overline{X}\right)^2
3$=\left(\overline{X}-t\right)^2+V(X)
ce qui permet de conclure d'un coup que le minimum est obtenu pour 3$t=\overline{X} et il vaut 3$V(X).

Nicolas

Posté par
littleguyre : dérivée 16-04-06 à 09:22

Bonjour Nicolas.

Oui ou bien affirmer directement que, si a>0, ax²+bx+c est minimal pour x=\frac{-b}{2a} (résultat utilisable dès la 1ère, et que tu as remis en évidence dans cet exemple)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : dérivée 16-04-06 à 09:33


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