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dérivée d une fonction

Posté par charly (invité) 31-10-04 à 17:12

bonjour à tous,
voila, je galere pour etudier la dérivabilité en 1 de cete fonction :
f(x) = x [(1-x)/(1+x)]

ca me mene à des calculs de 3 pages avec des ², des ^3, des ^4 et ca n'aboutit pas
merci pour votre aide

Posté par charly (invité)re : dérivée d une fonction 31-10-04 à 21:13

... je remonte le sujet

Posté par charly (invité)re : dérivée d une fonction 01-11-04 à 23:37

bon

Posté par
Nightmarere : dérivée d une fonction 01-11-04 à 23:52

bonjour

Procédons successivement .

1)dérivée de \frac{1-x}{1+x}:
\frac{d}{dx}(1-x)=-1
\frac{d}{dx}(1+x)=1
(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{}}

On en déduit :
\frac{d}{dx}(\frac{1-x}{1+x})=\frac{-(1+x)-(1+x)}{(1+x)^{2}}
\frac{d}{dx}(\frac{1-x}{1+x})=-\frac{2}{(1+x)^{2}}

2)dérivée de \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}

on en déduit :
\frac{d}{dx}(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})=\frac{-\frac{2}{(1+x)^{2}}}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
\frac{d}{dx}(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})=-\frac{1}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}

3)dérivée de f(x)=x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
(u.v)'=u'v+uv'

\frac{d}{dx}(x)=1

On en déduit :
f'(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}-x\frac{1}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}

expression qui doit pouvoir se simplifier mais je te laisse faire

Posté par charly (invité)re : dérivée d une fonction 02-11-04 à 13:45

bin justement, je tombe sur le meme resultat que vous, mais quand je développe ca, je tombe sur des ^3, ^4, des ², enfin, je m'en sors pas et ca fait 3 pages, je peux vous scanner mes 3 pages de calcul si vous voulez hihi

Posté par
Nightmarere : dérivée d une fonction 02-11-04 à 13:51

pk développer ?

Mettons au même dénominateur :

3$f'(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}-\frac{x}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
3$f'(x)=\frac{\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}(1+x)^{2}-x}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
3$f'(x)=\frac{\frac{1-x}{1+x}(1+x)^{2}-x}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
3$f'(x)=\frac{(1-x)(1+x)-x}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
3$f'(x)=\frac{1-x^{2}-x}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}
3$f'(x)=-\frac{x^{2}+x-1}{(1+x)^{2}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}

Et voila , le tour est joué , on a plus qu'a se préocuper du signe du trinome x²+x-1 ce qui est assez simple

Posté par charly (invité)re : dérivée d une fonction 02-11-04 à 16:23

ouais euh, c'est vrai que j'avoue vouloir développer souvent, un grand défaut
en tout cas merci beaucoup


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