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Dérivée d une fonction en 0

Posté par AliceInWoo (invité) 16-01-05 à 15:31

1. On considère la fonction f définie sur [0, +linfini[ par
f(0) = 1 et f(x) = ln(1+x)/x pour x>0.
Préciser la limite en 0.

2.a. Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0,+linfini[ par :
g(x) = ln(1+x) - (x- x²/2 + x^3/3)
Calculer g(0) et en déduire que sur R+ :
ln(1+x) < x- x^2/2 + x^3/3

   b. Par une étude analogue montrer que si x < (ou =) 0, alors :
ln(1+x) < x - x²/2

    c.Etablir que pour tout x strictement positif on a :
-1/2 < [ln(1+x)-x] / [x²]  <  -1/2 + x/3

En déduire que f est dérivable en 0 et que f'(0) = -1/2.

Voila. J'ai du mal pour la question 1 et la 2c.
J'ai réussi à résoudre les questions intermédiaires ms je ne vois pas le lien avec la 1 et la 2c.

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
Nightmarere : Dérivée d une fonction en 0 16-01-05 à 15:34

Bonjour

\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=f(0)=1
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0} \frac{ln(1+x)}{x}=1

Donc \lim_{x\to 0} f(x)=0
=> f est continue en 0 . Peu d'importance dans le probléme mais bon ..


Jord

Posté par AliceInWoo (invité)re : Dérivée d une fonction en 0 16-01-05 à 15:38

merci beaucoup !
mais pour la 2c je ne vois pas comment déduire que f est dérivable en 0 d'après ce que je viens de faire.

Posté par
Nightmarere : Dérivée d une fonction en 0 16-01-05 à 15:44

Re

f est dérivable en 0 si et seulement si :
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} existe et est finie .

On a :
\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\frac{ln(1+x)}{x}-1}{x}=\frac{ln(1+x)-x}{x^{2}}

or , -\frac{1}{2}\le\frac{ln(1+x)-x}{x^{2}}\le-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}x

et :
\lim_{x\to 0} -\frac{1}{2}=\lim_{x\to 0} -\frac{1}{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}

On en déduit d'aprés le théoréme de l'hospital :
\lim_{x\to 0} \frac{ln(1+x)-x}{x^{2}}=-\frac{1}{2}

soit :
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=-\frac{1}{2}

f est donc dérivale en 0 est f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=-\frac{1}{2}


Jord

Posté par AliceInWoo (invité)re : Dérivée d une fonction en 0 16-01-05 à 15:56

merci beaucoup ton aide m'est très précieuse!!
Alice

Posté par
Nightmarere : Dérivée d une fonction en 0 16-01-05 à 15:58

Pas de probléme


Jord


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