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Dérivée et dérivée seconde

Posté par
Bandicootz 20-03-22 à 21:56

Bonsoir

Rassurez-moi, avant de procéder à ce que l'exercice demande, je voulais savoir si je pouvais simplifier la fonction :

f(t) = (1-t^{1/p})^p

par

f(t) = 1^p - t

afin de me faciliter la tâche ?

Merci d'avance

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 22:05

bonsoir,

pour repondre à ta question, si p vaut 2, est ce vrai ?

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 22:37

Bonsoir,

Merci pour ta réponse Leile.

Si p = 2, alors ça m'aurait fait
1-t^{2/2} = 1-t^1 = 1-t
donc j'aurais pensé que ce soit vrai ?

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 22:43

(a-b)²   =   a²  - 2ab   + b²    (identité remarquable)
(1  -   t 1/2  )²  =  1  -  2* t 1/2   +  (t 1/2 ) ²

donc, il y a    -2t   comme différence..

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 22:54

Je me disais bien que ce serait trop facile, effectivement je n'ai pas analysé l'identité remarquable, grossière erreur de ma part et te remercie de m'en avoir pris conscience.

Du coup, voilà ce que j'obtiens quand je dérive la fonction :

f(t) = (1-t^{1/p})^p

(Je vous épargne les détails, mais si ce n'est pas le bon résultat, ce qui est très probable, je vous en ferai part afin de comprendre ce qui ne va pas.)

f'(t) = -t^{1/p} - t^{(p²-2p+2)/p}

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 22:54

de m'en avoir fait prendre conscience*

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:09

J'ai recalculé de nouveau et je tombe cette fois-ci sur f'(t) = 1 (?)

Je suis parti de cette expression-là :

f'(t) = p(-\frac{1}{p}t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1}

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:14

mmhh...

quelle formule de dérivation as tu appliqué ?
tu peux me montrer le détail ?

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:15

messages croisés...

Bandicootz @ 20-03-2022 à 23:09

J'ai recalculé de nouveau et je tombe cette fois-ci sur f'(t) = 1 (?)

Je suis parti de cette expression-là :

f'(t) = p(-\frac{1}{p}t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1}

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:18

pardon, posté trop vite..

cette dernière dérivée est correcte.
simplifiable car  p * 1/p  = 1
ca donne
f'(t) = -t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1}
ensuite tu écris f'(t)=1  ??    là, je ne comprends pas..

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:22

manque une parenthèse..
f'(t) = (-t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1}
par ailleurs, tu n'as pas donné l'énoncé : je ne peux pas savoir si ce qu'on fait est correct (par ex, pourquoi calculer la dérivée ? ).
Enfin, tu postes en reprise d'études : pour quel niveau ?

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:27

Merci encore Leile pour ton aide.

Ok l'expression initiale de la dérivée est correcte, c'est déjà un bon début.

Oui, je l'ai également simplifié de la façon dans laquelle tu l'as écrite, soit : f'(t) = (-t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1}

J'ai également continuer de la simplifier et je tombe sur un autre résultat, qui est beaucoup plus rassurant que le précédent :

f'(t) =-t{\frac{1-p}{p}} - t^0 \\ = -t{\frac{1-p}{p}} - 1

Tombes-tu sur le même ?

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:30

Leile @ 20-03-2022 à 23:22

manque une parenthèse..
f'(t) = (-t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1}
par ailleurs, tu n'as pas donné l'énoncé : je ne peux pas savoir si ce qu'on fait est correct (par ex, pourquoi calculer la dérivée ? ).
Enfin, tu postes en reprise d'études : pour quel niveau ?


Désolé, il est vrai que je n'ai pas encore posté l'énoncé. En fait, il est demandé de calculer la dérivée et ensuite la dérivée seconde de cette fonction sur I =]0, 1[  avec p un entier tq  p ≥ 1 (dans l'optique de montrer l'inégalité de Minkowski)

Il s'agit d'un niveau de bac+1

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:33

je suis curieuse de voir le détail de ta simplification...  

tu n'as pas donné l'énoncé : je ne peux pas savoir si ce qu'on fait est correct (par ex, pourquoi calculer la dérivée ? ).
Enfin, tu postes en reprise d'études : pour quel niveau ?

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:41

Citation :
je suis curieuse de voir le détail de ta simplification...
Ok, je vais de nouveau refaire le calcul pour m'en assurer et je t'envoie ça.

Pour ton autre question, je t'ai répondu avec le post précédent.

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:43

niveau bac +1 : je risque d'être un peu juste (je réponds en général sur des questions du lycée).
par exemple, je ne vois pas le lien entre ces calculs et l'inégalité de Minkowski .. Je ne suis pas au niveau, désolée..

Perso, je ne simplifie pas la dérivée comme toi.
je peux  demander qu'on me relaye pour avoir une aide plus efficace et pertinente : ça te dit ?

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:49

Ok, pas de soucis, au pire j'attendrai que quelqu'un d'autre de plus à l'aise intervienne, ne n'embête pas (surtout au vu de l'heure).

Je te remercie en tout cas pour l'aide apportée jusque-là.

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 20-03-22 à 23:58

j'ai demandé un relai : j'espère que tu n'es pas trop pressé car il me semble qu'il n'y a plus grand monde sur le site ce soir..
Bonne continuation !

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 21-03-22 à 00:00

Merci, bonne soirée

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 21-03-22 à 00:45

Rappel
Enoncé :
Calculer la dérivée et la dérivée seconde de la fonction sur I =]0, 1[  avec p un entier tq  p ≥ 1

f(t) = (1-t^{\frac{1}{p})^p

Pour la dérivée, voici le résultat obtenu :

f'(t) = p(-\frac{1}{p}t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1} \\ \\ = (-t^{\frac{1-p}{p}})(1-t^{\frac{1}{p}})^{p-1}

On peut encore la simplifier, mais il vaut mieux arrêter sous cette forme, je présume ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée et dérivée seconde 21-03-22 à 08:19

Bonjour,
La dérivée est bonne.
On peut la transformer en utilisant 1-p = -(p-1) :

-\left(t^{-\frac{1}{p}} \right)^{p-1}\times \left(1-t^{\frac{1}{p}} \right)^{p-1} = -\left(\left(t^{-\frac{1}{p}} \right)\times \left(1-t^{\frac{1}{p}} \right)\right)^{p-1}
Et l'intérieur de la parenthèse se simplifie.

Pourquoi ne pas nous donner les questions suivantes ?
Là, on ne voit pas ce qu'il faut faire de la dérivée seconde.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Dérivée et dérivée seconde 21-03-22 à 09:15

Ta simplification de 23h27 était fausse.
Je ne vais plus être disponible.

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 21-03-22 à 16:32

Bonjour Sylvieg, merci pour ta contribution.

Sylvieg @ 21-03-2022 à 08:19

Bonjour,
La dérivée est bonne.
On peut la transformer en utilisant 1-p = -(p-1) :

-\left(t^{-\frac{1}{p}} \right)^{p-1}\times \left(1-t^{\frac{1}{p}} \right)^{p-1} = -\left(\left(t^{-\frac{1}{p}} \right)\times \left(1-t^{\frac{1}{p}} \right)\right)^{p-1}
Et l'intérieur de la parenthèse se simplifie.


Après simplification de l'intérieur de la parenthèse, j'obtiens :

= -\left(\left(t^{-\frac{1}{p}} \right)\times \left(1-t^{\frac{1}{p}} \right)\right)^{p-1} \\ \\ = -(t^{-\frac{1}{p}} - 1)^{p-1}

Est-ce exact ?

Citation :
Ta simplification de 23h27 était fausse.
Je ne vais plus être disponible.
Oui, je m'en suis rendu compte et pas de souci, merci pour le coup de pouce.

Citation :
Pourquoi ne pas nous donner les questions suivantes ?
Là, on ne voit pas ce qu'il faut faire de la dérivée seconde.


Dérivée et dérivée seconde

Posté par
lakere : Dérivée et dérivée seconde 21-03-22 à 16:44

Bonjour,

Je me permets de poursuivre en l'absence de Sylvieg :

Citation :
? = -(t^{-\frac{1}{p}} - 1)^{p-1}

Est-ce exact ?



S'il s'agit de f'(t), oui.

En route pour le calcul de la dérivée seconde. En principe, tu dois tomber sur :

  f''(t)=\dfrac{p-1}{p}t^{\frac{1}{p}-2}\left(1-t^{\frac{1}{p}}\right)^{p-2}

qui est positive sur ]0,1[

Tu devras utiliser la convexité de f pour la suite.

Posté par
Bandicootzre : Dérivée et dérivée seconde 21-03-22 à 17:46

Bonjour lake, merci pour avoir pris la suite.

Tu as bien fait de préciser le résultat attendu de la dérivée seconde, ça va bien m'aider.

Je vous ferai un point dès que je suis sur le coup, merci encore

Posté par
lakere : Dérivée et dérivée seconde 22-03-22 à 14:55

Bonjour,

La suite (l'inégalité de Minkowski) n'est pas évidente. J'anticipe pour que tu ne te perdes pas :

Toutes les sommes vont de i=1 à p.
L'inégalité de convexité pour f traduite avec l'inégalité de Jensen :

  f\left(\sum\lambda _i \,x_i\right)\leq \sum\lambda_i\,f(x_i) où \sum\lambda_i=1 et les x_i positifs.

En remarquant que les \lambda_i peuvent s'écrire \dfrac{t_i}{\sum t_i} dont la somme vaut 1, on peut la réécrire de la manière suivante :

  f\left(\dfrac{\sum t_ix_i}{\sum t_i}\right)\leq \dfrac{\sum t_if(x_i)}{\sum t_i}

Et là, on pose : t_i=(a_i+b_i)^p et x_i=\dfrac{a_i^p}{(a_i+b_i)^p}

La suite est quasiment miraculeuse.

Posté par
larrechre : Dérivée et dérivée seconde 22-03-22 à 16:26

Bonjour,

Bien vu lake

Posté par
lakere : Dérivée et dérivée seconde 22-03-22 à 17:40

Bonjour larrech

J'ai pédalé dans le yaourt pendant des heures !

Posté par
Leilere : Dérivée et dérivée seconde 23-03-22 à 15:50

ouahh  !! bravo lake !
pas étonnant que je me sois sentie  toute petite après le calcul de la dérivée !   

Posté par
lakere : Dérivée et dérivée seconde 23-03-22 à 16:09

Bonjour Leile,

J'en profite pour rectifier un détail :

  

Citation :
f\left(\sum\lambda _i \,x_i\right)\leq \sum\lambda_i\,f(x_i) où \sum\lambda_i=1 et les x_i positifs.


  où il vaut mieux écrire :

  
Citation :
f\left(\sum\lambda _i \,x_i\right)\leq \sum\lambda_i\,f(x_i) où pour tout i, \lambda_i positif, x_i compris entre 0  et 1 (ici) et \sum\lambda_i=1
.

Autre chose :le calcul de la dérivée seconde n'était utile que pour vérifier qu'elle était positive sur ]0,1[. On pouvait s'en passer :

  f'(t)=-t^{\frac{1}{p}-1}\left(1-t^{\frac{1}{p}}\right)

en remarquant que -f'(t) est le produit de deux fonctions décroissantes et positives sur ]0,1[ donc décroissante sur cet intervalle et donc que f'(t) est croissante sur ]0,1[


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