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Dérivée n-ième

Posté par
WolFelix 10-02-21 à 12:51

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un problème que je dois faire en maths, le sujet c'est dérivation, convexité et continuité.
(^= puissance)

Soit la fonction f(x)=x^2×e^3x définie sur R. On admet que f est indéfiniment dérivable sur R et, pour tout entier naturel n, on note f^(n) sa dérivée n-ième.
Par exemple, f^(1)=f' et f^(2)=f".

1) Calculer f^(n) (x) pour n=1, n=2 et 2=3.

2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier supérieur ou égal à 2 : f^(n) (x)=(9x^2+6nx+n(n-1)) 3^n-2×e^3x

3) Vérifier que cette formule est aussi vraie pour n=0


J'en suis à la question 1 mais en dérivant je ne me rapproche pas du tout de la formule de la 2e question.

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 13:07

Bonjour

Que donnent f' et f'' ?

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 13:45

Bonjour WolFelix,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 13:45

(Pardon j'étais allé déjeuner)

f' c'est la même chose que f^(1) (x) et f" est pareil que f^(2) (x)

Pour les résultats qu'ils me donnent j'ai:
f'= 2xe^3x+3x^3e^3
f"= 6e^3x+2x×9e^3x

Mais je pense m'être trompé ou ne pas être allé assez loin

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 13:46

J'ai utilisé la l'opération de dérivation: (uv)'=u'v+uv'

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:05

D'abord le texte  f(x)=x^2\text{e}^{3x} Est-ce bien cela ?  3x entre parenthèses alors

f'(x)=2x\text{e}^{3x}+3x^2\text{e}^{3x}=(3x^2+2x)\text{e}^{3x}

Pour f'' u(x)= 3x^2+2x \ ;\ v(x)=\text{e}^{3x}

f''(x)=(6x+2+3(3x^2+2x))\text{e}^{3x} à simplifier

Il faudrait réécrire la question 2 avec toutes les parenthèses

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:12

À un moment j'ai trouvé deux fois e^3x je pensais qu'il fallait trouver un facteur commun.

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:17

Pour la première réponse je trouve  f'(x)=2xe^3x + x^2×e^3x d'où vient le 3 après le + ?

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:17

Le facteur commun est \text{e}^{3x}

Que vaut f''(x) ou f^{(2)}(x)

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:19

\left(\text{e}^{3x}\right)'=3\text{e}^{3x} car (\text{e}^u)'=u'\text{e}^u

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:21

Oui mais pour la première dérivée je trouve:
f'(x)=2x\text{e}^{3x}+3x^2\text{e}^{3x}=(3x^2+2x)\text{e}^{3x}

Je ne trouve pas le 3 en rouge

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:21

Je me suis trompé: f'(x)=2xe^3x + x^2×e^3x

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:22

Ah d'accord, j'ai compris merci!

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:24

Hmm non je ne comprend toujours pas d'où sort le 3 après le + :/

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:43

f(x)= x^2\text{e}^{3x} on pose u(x)=x^2 d'où u'(x)=2x

et v(x)=\text{e}^{3x} d'où v'(x)=3 \text{e}^{3x}

( uv)'=u'v+v'u

f'(x)=2x\text{e}^{3x}+x^2\times (3\text{e}^{3x})=\text{e}^{3x}\left(2x+3x^2\right) ou

f'(x)=(3x^2+2x)\text{e}^{3x}

voir dérivée de \text{e}^u

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:51

Je viens de comprendre
En fait vous avez (x^2×3e^3x) et vous faites (x^2×3×e^3x) et vous attribuez le 3 au 2x ok je comprend.

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 14:52

Le 3 au x^2*

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:00

La multiplication est associative   l'ordre des opérations n'a pas d'importance

a(bc)=(ab)c=abc

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:01

Pour la question 2 je ne comprend pas non plus dans quel sens il faut faire la dérivée, je la fait normalement mais ça me donne (2+6x)3e^3x

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:01

Pour la dérivée 2 pas la question 2*

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:15

On pose u(x)=3x^2+2x  d'où u'(x)=6x+2  et v(x)=\text{e}^{3x}


f^{(2)}(x)= (6x+2)\text{e}^{3x}+(3x^2+2x)\times (3\text{e}^{3x})=(6x+2+9x^2+6x)\text{e}^{3x}

f^{(2)}(x)=(9x^2+12x+2)\text{e}^{3x}

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:22

D'accord merci.
Je vais essayer de faire la 3e

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:24

La dérivée 3ieme  et essayer de vérifier avec la relation de récurrence

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:28

Je trouve f'''(x)=(27x^2+54x+18)e^3x

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 15:41

Pas d'accord pour le terme constant   12+3\times 2

N'auriez-vous pas oublié de multiplier 2 par 3 ?

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:04

(18x+12)(e^3x) + (9x^2+12x+2)(3e^3x) donc (9x^2+12x+2)x3 (e^3x) et donc (27x^2+36x+6)

(18x+12+27x^2+36x+6)
(27x^2+54x+18)

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:22

Bien d'accord

f^{(3)}(x)=(27x^2+54x+18)\text{e}^{3x}

Question 2 ?

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:31

Alors c'est de la récurrence la question 2.

2)Démontrer par récurrence que, pour tout entier supérieur ou égal à 2 :
f^(n) (x)=(9x^2+6nx+n(n-1)) 3^n-2×e^3x

Donc j'imagine qu'il faut faire une initialisation, hérédité et conclusion ?

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:36

Pas d'imagination,  la réalité  c'est bien ce qu'il faudra faire

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:41

Je ne sais pas très bien faire la récurrence.
Il faut juste montrer que la propriété est vraie à tel rang

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:43

bonjour (je prends le relais en l'absence de hekla)

tu as vu en cours le principe de récurrence... reste à l'appliquer .

initialisation pour quelle valeur de n ?

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:44

Quand n ≥ 2

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:45

ce n'est pas UNE valeur ça !

initialisation pour quelle valeur de n ?

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:46

2

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:47

(hekla bonjour... je te laisse poursuivre puisque je vois que tu es de retour )

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:48

donc déjà tu vérifies que la relation fonctionne pour la valeur n=2

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 16:48

(Je suis en train de le faire)

Posté par
heklare : Dérivée n-ième 10-02-21 à 17:14

Bonjour matheuxmatou

Vous pouvez continuer  j'ai d'autres messages sur le feu !

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 17:15

d'accord... bonne cuisson

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 17:28

Alors, pour n=2; f^(2) (x)= (9x^2+12x+2)e^3x (je l'ai calculé avant)
Donc la propriété est vraie pour n=2

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 17:33

donc je rappelle que la propriété à démontrer est que

f^{(n)}(x) = (9x^2 + 2nx + n(n-1))\times 3^{n-2}\times e^{3x}

donc c'est bon pour n=2

maintenant supposons que c'est vrai à un certain rang n2

et montre que c'est encore vrai au rang (n+1)

f^{(n+1)}(x) = \left(f^{(n)}\right)'(x) = \cdots

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 17:33

(et il y a le bouton x² en bas de la fenêtre pour mettre les puissances)

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 17:52

Ah! C'est ce que j'étais en train de faire)

Ça me donne:
f(n+1)(x)=(9x2+6(n+1)x+(n+1)(n+1-1))3n+1-2e3x

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 18:01

ça c'est ce qu'il faut démontrer...

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 18:07

Donc il faut démontrer que f(n')=2 ?

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 18:07

Non, ce n'est pas ça

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 18:10

????

revois ton cours sur le principe de récurrence...

on suppose que pour un certain n supérieur ou égal à 2 on a :

f^{(n)}(x) = (9x^2 + 2nx + n(n-1))\times 3^{n-2}\times e^{3x}

tu dois dériver cela pour montrer qu'au rang (n+1) on encore la relation (celle que tu as écrite à 17:52

Posté par
WolFelixre : Dérivée n-ième 10-02-21 à 18:21

Um, comment je fais pour dériver avec 2 inconnues ? Est-ce que je dois remplacer n par 2 au préalable ?

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 18:28

visiblement tu n'as pas compris le principe de récurrence !

et où ça deux variables ?

pour passer de f(n)(x) à f(n+1)(x) , on dérive par rapport à x ... !

Posté par
matheuxmatoure : Dérivée n-ième 10-02-21 à 18:29

et n ne vaut pas 2 ...! c'est un certain entier supérieur ou égal à 2 ... donc c'est n et pis c'est tout

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