Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Dérivée partielle

Posté par
Lloyds
03-01-12 à 19:28

Bonjour ,

Je dois dériver : F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2))

Voila comment je ferais :

F'(x,y) = f'_x[(y\times h(x), h(y^2)]\times [y'\times h(x) + y\times h'(x)] + f'_y[(y\times h(x), h(y^2)]\times h'(y^2)\times 2y

Mais vu qu'il y'a h(x) et h(y^2) ca m'embrouille ...

Merci !

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 11:48

Up svp ! Je dois vraiment comprendre (ca urge ^^')

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 12:00

dériver suppose de dire par rapport à quelle variable

peut-être devrais-tu donner plus de détails sur le contexte de ton exercice

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 17:28

Exprimer les dérivées partielles de F(x,y) en fonction de f(.) , h(.) et des dérivées de f(.) et de h(.) je comprends pas trop l'énoncé ... On nous demande quoi ?

Pour moi une dérivée partielle c'est :
Je dérive F en fonction de x
Je dérive F en fonction de y
J'additionne les 2

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 17:52

\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}
est la dérivée partielle de la fonction f par rapport à x (on estime que y est alors constante)

\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}
est la dérivée partielle de la fonction f par rapport à y (on estime que x est alors constante)

F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2))

pour trouver \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}
il te reste à dériver F(x,y), comme s'il s'agissait d'une simple fonction de x, y étant constante F_y(x)=f(y\times h(x), h(y^2))

prends un exemple :
h(z)=3z+5

f(u,v)=uv+2u-v

alors que donne
F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2))

posons
u=y\times h(x)=y\times(3x+5)
 \\ v=h(y^2)=3y^2+5

F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2)) = uv+2u-v=(y\times(3x+5))(3y^2+5)+2y\times(3x+5)-(3y^2+5)

et donc

\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=3y(3y²+5)+6y

\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=(3x+5)(3y²+5)+6y²(3x+5)+2(3x+5)-6y

A toi maintenant d'utiliser les règles de dérivation de fonctions composées pour traiter le cas de F(x,y)=f(y\times h(x), h(y^2)), quelle que soit la forme qu'ont f et h

évidemment, tu vas voir apparaître les fonctions dérivées partielles \frac{\partial f}{\partial x}\quad,\quad \frac{\partial f}{\partial y} et la fonction dérivée h'
(ici, je parle bien de fonction dérivée de h, car h n'est fonction que d'une seule variable)

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 18:54

D'ou vient le f(u,v)=uv+2u-v de ton exemple ? Je vois pas en quoi ca correspond à notre fonction ici.

Sinon , ce que j'ai fait devrais être juste non ? Je dérive d'abord par rapport à y\times h(x) et ensuite par rapport à h(y^2)

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 19:23

Ou alors je devrait dériver y\times h(x) en posant h(x) comme une constante la aussi ? (quand je dérive par rapport à y) parce que sinon j'ai appliqué la dérivée d'un produit...

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 19:28

désolé,
j'avais écrit :
prends un exemple :

j'aurais dû l'écrire en gras, en souligné, en italique.

Sinon , ce que j'ai fait devrait être juste non ?
peut-être, je ne vois pas bien ce que tu entends par
Je dérive F en fonction de x
Je dérive F en fonction de y
J'additionne les 2

peut-être que si tu donnais plus de détails...

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 19:36


F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2)) = uv+2u-v
Or F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2)) c'est bien notre fonction ...

Regardes mon prmeier message , j'ai proposé qqc

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 20:52

oui, j'avais vu ton premier message
et j'essayai de te faire voir autre chose

il n'y a pas de "dérivée" d'une fonction à plusieurs variables mais :
- des dérivées partielles
- une forme différentielle qui les relie

\text d F(x,y) = \frac{\partial F}{\partial x}\text dx + \frac{\partial F}{\partial y}\text dy

et pour ton exercice, il s'agit d'appliquer pour le calcul des dérivées partielles la technique des fonctions composées

forme générale du théorème :
F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))

\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial h}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}

\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial h}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}

tu remplaces  g(x,y)  par y*h(x)
tu remplaces  h(x,y)  par h(y²)

\frac{\partial F}{\partial x}=y*h'(x)\frac{\partial f}{\partial x}+0\frac{\partial f}{\partial y}

\frac{\partial F}{\partial y}=h(x)\frac{\partial f}{\partial x}+2y*h'(y²)\frac{\partial f}{\partial y}

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 21:05

F'(x,y) = f'_x[(y\times h(x), h(y^2)]\times  y\times h'(x) + f'_y[(y\times h(x), h(y^2)]\times h'(y^2)\times 2y donc ?

Je pense que j'ai pas bien compris ton théorème , je sais pas si on a le même en tête à savoir celui de la dérivation en chaine.

La première ligne
\frac{\partial F}{\partial x}=y*h'(x)\frac{\partial f}{\partial x}+0\frac{\partial f}{\partial y}
C'est bien la dérivée par rapport à x ? Pourquoi retrouve-t-on 0\frac{\partial f}{\partial y} ?

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 04-01-12 à 23:16

je ne connais pas ton théorème de la dérivation en chaîne, je ne sais pas ce qu'il recouvre.

la dérivée par rapport à x de la fonction h(y²) est 0, puisque ne dépendant pas de x, cette expression h(y²) est constante selon x.

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 05-01-12 à 09:07

Dérivation en chaine : si F(t) = [u(t),v(t)] alors F'(t) = f'_u[u(t),v(t)]u'(t) + f'y[u(t),v(t)]v'(t)

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 05-01-12 à 19:04

ça ne s'applique pas à notre cas, puisqu'on a une fonction à deux variables, alors que ta formule ne s'applique qu'à une fonction à une seule variable.

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 09:16

Ben si ...
Cette formule est dans le cours sur les fonctions à 2 variables , et je vois pas pourquoi on aurait qu'une variable ici ... on a bien u(t) d'une part et v(t) d'autre part non ?

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 09:41

F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2))

moi, j'y vois deux variables, x et y

si tu dois dériver
G(t)=F(t,t) = f(t\times h(t), h(t^2))

alors oui, tu as une fonction G à une seule variable, et tu appliques ta formule

je crois que le problème vient que tu as insuffisamment exprimé le but de l'exercice et que je n'ai pas pu le deviner.

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 10:25

Je dois dériver F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2)) il y'a bien 2 variables non ?

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 12:20

Dérivation en chaine : si F(t) = [u(t),v(t)] alors F'(t) = f'_u[u(t),v(t)]u'(t) + f'y[u(t),v(t)]v'(t)
il n'y a qu'une seule variable

Je dois dériver F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2)) il y'a bien 2 variables non ?
oui

allez, je te laisse à tes imprécisions, je sens que tu as la solution.

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 12:44

Lol ben j'ai donné l'énoncé complet à mon 2e post , on a fait qu'appliquer cette formule , j'imagine qu'elle est généralisable à plusieurs variables , sinon je vois pas quelle autre formule il faudrait appliquer.

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 12:46

J'ai le bouquin sous les yeux , et ils disent bien que c'est cette formule pour les cas à 2 variables , ici les variable sont u et v et non pas t.

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 12:55

ton premier post :

Citation :
Je dois dériver : F(x,y) = f(y\times h(x), h(y^2))


ton troisième post (et pas deuxième)
Citation :
Exprimer les dérivées partielles de F(x,y) en fonction de f(.) , h(.) et des dérivées de f(.) et de h(.) je comprends pas trop l'énoncé ... On nous demande quoi ?

Pour moi une dérivée partielle c'est :
Je dérive F en fonction de x
Je dérive F en fonction de y
J'additionne les 2


ton post de 09h07
Citation :
Dérivation en chaine : si F(t) = [u(t),v(t)] alors F'(t) = f'_u[u(t),v(t)]u'(t) + f'y[u(t),v(t)]v'(t)


ton dernier post
Citation :
J'ai le bouquin sous les yeux , et ils disent bien que c'est cette formule pour les cas à 2 variables , ici les variable sont u et v et non pas t.


désolé, mais je ne vois absolument pas de logique dans tout ça.

je te rappelle mon conseil dans mon post de 12:00
peut-être devrais-tu donner plus de détails sur le contexte de ton exercice

si tu en as le courage et en sens la nécessité, recopie tout ton énoncé, sans rien omettre. peut-être que cela pourra débloquer la situation.

Posté par
Lloyds
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 17:48

Soit f(x,y) une fonction de R^2 dans R de classe C^1 sur R^2 qui a (x,y) associe f(x,y)
Soit h(t) une fonction de R dans R de classe C^1 sur R qui à t associe h(t)
Soit F(x,y) une fonction de R^2 dans R qui a (x,y) associe F(x,y) = f(y.h(x),h(y^2))
Exprimer les dérivées partielles de F(x,y) en fonction de f(.) , h(.) et des dérivées de f(.) et de h(.)

Posté par
dhalte
re : Dérivée partielle 06-01-12 à 18:25

Exprimer les dérivées partielles
cela n'a donc rien à voir avec ta formule de dérivée "en chaine", qui se place dans un cas particulier où on impose x=y, et qu'on appelle alors t

cela a tout à voir avec ce que je t'ai déjà donné comme information sur les dérivées partielles et les formules de dérivation partielle des fonctions composées à plusieurs variables.

donc si tu n'as pas réussi à me comprendre dans mes messages précédents, je vais être au regret de t'avouer que je ne peux pas faire plus pour toi, je ne me vois pas te faire un cours complet sur les dérivées partielles



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !