Bonjour,

je te propose de calculer quelques dérivées et de conjurer une hypothèse de récurrence sur la forme de la dérivée nième , puis de la démontrer. et enfin calculer f⁽¹⁰⁰⁾

D.

je comprends pas bien, quand tu dis, une hypotèse de récurrence de la forme de la dérivée nième

calcul quelques dérivées, tu verras elles sont une forme particulière..

vas-y calcules f' f'' f'''  f⁴

D.

Bonjour, commence par calculer quelques dérivées, et regarde si tu peux mettre la dérivée nième sous la forme d'une formule en n

Au dénominateur, à vue de nez, ça donne x^2^n

Soit f(x)=1/x
On sait (par coeur) que f'(x)=-1/x²
f" = (-1)²*(2x/((x²)²)
essaies de faire la dérivée d'ordre trois f'''(x) et dégager une formule de récurrence.
Allez j'ai un petit tuyau : présente f(x) sous forme
f(x)=x(-1) (x à la puissance moins un) et fais les dérivées successives
En principe à la troisième dérivée tu arriveras à dégager une formule de recurrence que tu vérifieras pour la dérivée d' ordre (n-1) la quelle tu dériveras une dernière fois pour trouver la dérivée d' ordre n
Tu pourras ainsi donner à n la valeur 100, 1000 ou 3150000
C'est un jeu d'enfant
Allez bon courage
Pythagore

ça me donne ça:

f'= -1/x²
f"= -2/x³
f³= -3/x⁴
f⁴= -4/x⁵

mais comment puis-je calculer F¹⁰⁰ sans faire tout ça? il n'y a pas de formule?

Ouh là, revois tes formules. On a (u/v)'

tu remarques que la dérivée nième est de la forme :

f⁽ⁿ⁾ = (-1)ⁿ/xⁿ⁺¹

démontre -le par récurrence !!

D.

ouopps !!

je me suis trompé et toi aussi la dérivée seonde est fausse.


D.

oui je vois bien ça, mais ça veut dire quoi démontrer par récurrence?
c'est ça qui me pose pb en fait

(borneo, la formule c'est -n/xn+1 merci!)

f'= -1/x²
f"= -2/x3
f3= -3/x4
f4= -4/x5

Au vue de tes résultats tu t'es trompé d'abord sur les signes des dérivées successives et aussi sur les coeffs
Essaies de revoir
Tu peux déjà remarque que la quatrième dérivée dégage une formule de reccurence mais tant que les signes et les coeffs ne sont pas bons tu ne peux aller plus loin
C'est pour quand ton DM
A plus
Pythagore

demain

je sais je m'y prends pas à l'avance mai j'étais pas la ce week-end

j'ai corrigé, voilà ce que j'ai

f'(x)= -1/x²
f"(x)=2/x³
f⁽³⁾= -6/X⁴
f⁽⁴⁾= 24/X⁵
f⁽⁵⁾= -120/X⁶

donc on voit au dénominateur que c'est tjs xⁿ⁺¹ avec n un nombre entier
mais concernant le nominateur je vois pas bien

Alors dès demain je reviendrai sur ce forum te donner la solution et la formule de recurrence
A demain
Pythagore

en matiné?

Oui en fin de matinée surement puisque en debut de matinée j'ai des cours à assurer

je reprends le fil de cet exo passionnant.

Avec la formule de dérivation (u/v)' = (u'v-v'u)/v²  (sorry, je persiste )

On trouve :

(j'appelle 1 la dérivée, 2 la seconde, etc...)

f1(x) = -1/x²

f2(x) = 2/x³

f3(x) = -6/x⁴

f4(x) = 24/x⁵

f5(x) = -120/x⁶

etc....

on voit au numérateur qu'on a factorielle n avec un signe positif pour n pair et négatif pour n impair

on voit au dénominateur qu'on a :  xⁿ⁺¹

On aura donc fn(x) = (-1)ⁿn!/xⁿ⁺¹


On vérifie pour f5(x)= -120/x⁶

avec la formule : (-1)⁵*5*4*3*2*1/x⁵⁺¹ = -1*120/x⁶

On dirait que ça marche.

Sauf erreur...

Bonjour
Comme promis je te donne la marche à suivre pour calculer les dérivées successives de la fonction inverse cad f(x)=1/x

On écrira f(x)= x (puissance -1) donc
f' (x)= (-1)* x(pussance moins 2)
f" (x)= (-1)*(-1)*2*x(puissance -3)=(-1)² 2* x(puissance -3)
f rang 3=(-1)²*(-1)*2*3*x(puissance -4)=(-1)puissance3)*2*3*x(puissance -4)
et ainsi de suite
On peut déduire ainsi que par exemple pour
f rang 8=(-1)puissance 8)*2*3*4*5*6*7*8*x(puissance -9)
Comme 1*2*3*4*5*........n=n!
on peut écrire pour un rang n
f rang n=(-1)puissance n)*n!*x(puissance -(n+1))
Voici donc la formule de recurrence et je te prierai de partir de cette formule de rang n et faire une dérivée pour atteindre le niveau n+1
A plus si tu n'as pas très bien compris le mécanisme
Pythagore

C'est la même réponse que celle de borneo hier soir, non ?

Tiens j'avais pas vu la réponse de Borneo d'hier soir
Alors c'est de l'energie pour rien
Pythagore

Bonsoir à vous deux.

Ce n'est pas de l'énergie pour rien, c'est passionnant. Bien plus que les exos de pourcentages

Bonjour à tous, j'ai un exercice sur les dérivées successives de la fonction inverse. Et j'aimerais savoir si vous pouvez détailler les calculs de quelques dérivées f', f'',f´´´ et f(4) , s'il vous plait car je ne trouve pas les mêmes résultats, et je comprend pas mes erreurs. Merci d'avance