Dérivées, exercice de Dérivées - 715499

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Posté par re : Dérivées 02-11-16 à 09:10

Je poste un "truc" dans la matinée.

Posté par re : Dérivées 02-11-16 à 09:39

Données :

$f,g:\left[0,1 \right]\curvearrowright\R \\ \forall x\in\left[0,1 \right],\: f'(x)\geq g'(x)$

Démonstration :

$\forall x\in\left[0,1 \right],\: f'(x)\geq g'(x)\Rightarrow \dfrac{f(1)-f(x)}{1-x}\geq \dfrac{g(1)-g(x)}{1-x} \\\\ \text{Donc pour }x\ne 1\text{ on a :} \\\\ \dfrac{f(1)-f(x)}{1-x}\geq \dfrac{g(1)-g(x)}{1-x}\Leftrightarrow f(1)-f(x)\geq g(1)-g(x) \\\\ \text{Or }f(1)=g(1)=1 \\\\ \text{Donc } \\\\ f(1)-f(x)\geq g(1)-g(x)\Leftrightarrow \cancel{1}-f(x)\geq \cancel{1}-g(x)\Leftrightarrow \textcolor{red}{f(x)\leq g(x)}$

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