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Derivees avec suite
Bonjour, je suis en Terminale S et j'ai quelques difficultes pour faire un DM:
La fonction f est definie sur R par f(x) = (x2 +x -1 )ex . On note f1 = f' , f2 = f'', f3 , f4 ... les derivees successives de f.
1) Calculer pour tout reel, f' et f''
2) a)demontrer par recurrence que pour tout entier n≥1, fn (x) = (x2 +anx+bn)ex avec an+1=an+2 et bn+1=bn+an.
b) Deduisez que an et bn sont des entiers relatifs
3) On se propose dans cette question d'exprimer an et bn en fonction de n.
a) verifier que la suite an est arithmetique. Deduisez-en an en fonction de n pour tout n ≥ 1
b) Verifier que pour tout n ≥1: bn = an-1+an-2+...+a2+a1. Deduisez-en bn en fonction de n pour n ≥1.
j'ai mis en gras les parties ou jarrive pas a faire...
c'est a dire:
2) b) comment trouver que les suites a et b sont des entiers relatifs? j'en ai absolument aucune idee.
3) a) en disant que an est sous la forme an+1=an+r je peux facilement dire que la suite est arithmetique. mais comment en deduire an en fonction de n??
dans aucun cas je trouve une valeur dans la suite pour trouver a0 ou b0 afin de trouver an en fonction de n
voici mon raisonnement:
an-1=a0+rn
an=a1+rn
an=a1+2(n-1)
??
3) b) je pense que je suis censé prendre an+1 = an +2 ainsi que bn+1=bn+an pour les "assembler" et trouver le resultat. mais je finis avec bn=bn...
ensuite a partir de ca, je sais que je pourrais prendre la formule de an et la mettre dans bn pour obtenir bn en fonction de n...
enfin bref, désolé de la longueur de mon post (ainsi que si la réponse est évidente), mais je suis perdu..
Bonjour,
La lecture de a0 et b0 se fait dans f(x) soit a0=1 et b0=-1.Il n'est pas difficile de justifier que an et bn sont des entiers relatifs.
Aahh daccord... n>1 donc je trouve a1 avec la derivee?
du coup jai pu en deduire la formule de an ( an=3+2(n-1) )
mais comment puis-je utiliser cela pour trouver bn en fonction de n?
merci pour votre reponse rapide!
Tu sais que b(n+1)=an+bn d'où b(n+1)=bn+(2n+1)
On écrit bn=b(n-1)+2n-1
b(n-1)=b(n-2)+2n-3
b(n-2)=b(n-3)+2n-5
.......... ...............
b3=b2+5
b2=b1+3
b1=b0+1
En ajoutant membre à membre ,on voit que les termes de b1 à b(n-1) figurent des deux côtés et donc se réduisent...
D'où bn=b0+1++3+....+(2n-1)
Bonjour, je pense avoir pas trop compris la démarche de votre réponse..
Excusez moi pour l'incomrépehension
Bonjour,
Je détaille les explications de gerreba.
Déjà commencer par réduire an :
an = 3 + 2(n-1) = 2n+1
D'où bn+1 = bn + 2n+1
Ensuite, écrire n égalités bk+1 = bk + 2k+1
pour k de 1 à n :
b1 = b0 + 1
b2 = b1 + 3
b3 = b2 + 5
....
bn-2 = bn-3 + 2n-5
bn-1 = bn-2 + 2n-3
bn = bn-1 + 2n-1
Et ajouter membre à membre ces n égalités.
Aaahhh daccord.. Jaurais pas pu faire ce raisonnement seul.
De plus, je me demandais pk on ajoutais des bn alors quon cherchais a avoir une somme de an, mais tout se clarifie a la fin...
Merci pour votre aide!!
oui! desole pour le retard..
la somme de deux entiers relatifs est un entier relatif!
donc An et Bn appartiennent a Z
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