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Des bactéries pour faire des maths
Bonjour alors voilà j'ai un DM très long à faire pour lundi et en fait c'est un DM sur lequel on a pas de cours car c'est pour introduire le cours. Est ce que quelqu'un pourrait m'aider et vérifier ce que j'ai commencé s'il vous plait.
1/Une situation biologique
Supposons qu'une culture de bactéries constituée de 1 millier d'individus est lancée à 0h00.
Une première observation montre que :
-la population est multipliée par 2 toutes les heurs (observation 1)
-et de façon plus générale, pour une durée 
t fixée, la population est multipliée par un nombre constant (observation 2 : par exemple, de 0h30 à 1h30 et de 3h à 3h30 la population est multipliée par un facteur constant mais inconnu).
Autrement dit le taux de croissance sur une durée t est constant et en particulier, pour une durée de 1h, le taux de croissance est de 100%
Question 1: Sachant qu'à 0h00 la population est de 1 millier, déterminer la population à 1h,2h,4h et en remontant le temps avant le début de l'observation, à 23h et 20h la veille.
Alors ici j'ai mis :à 0h elle est de 1 millier
à 1h on multiplie celle de 0h par 2 donc elle est de 2 milliers
à 2h on multiplie celle de 1h par 2 donc elle est de 4 milleurs
à 4h on multiplie celle de 3h par 2 donc elle est de 16 milliers
à 23h on divise celle de 0h par 2 donc elle est de 0,5 millier
à 20h on divise celle de 21h par 2 donc elle est de 0,0625 millier
Question 2 : D'après vous, quelle est la population à 1h30 et à 0h30 ?
Compte tenu de cette premiére observation, il serait souhaitable de trouver une formule déterminant la population à l'instant t afin de pouvoir décrire la croissance de ce type de bactérie et sa vitesse de croissance de croissance à l'instant t dans un milieu donné. Il s'agit donc de modéliser la population à l'instant t.
Ici j'ai mis :à 1h la population est de 2 milliers et à 0h elle est de 1 millier donc à 0h30 elle est 1,5 milliers.
à 1h la popluation est de 2 milliers et à 2h elle est de 4 milliers donc à 1h30 elle est de 3 milliers.
Voilà mes deux premières questions, je vous envois la suite après, est ce que quelqu'un pourrait me vérifier et m'aider pour trouver la formule de la deuxième question s'il vous plait.
Merci beaucoup.
Lau
salut
question 1 ok
question 2 a revoir pour moi.
car a 0h 1000
et tu dis a 0h30 1500
donc a 1h c'est 1,5*1500 non ?
donc ce serait 2250.or on a 2000 il y a donc une erreur.
soit le coefficient A pour une demi heure.
a 0h 1000.
a 1h 2000.
donc 1000*A²=2000
donc A=V2
donc a 0h30 1000*V2 = 1414 a 1 unite pres par defaut.
a 1 h 30 2000*V2 = 2828 a 1 unite pres par defaut.
Pour le 2.
P = K^t
t = 0 --> P = 1 (OK)
t = 1 --> P = 2 et donc 2 = K^1 --> K = 2
P = 2^t (Avec P en millier et t en heure).
-----
A 0h30, on a t = 0.5 heure et P = 2^0,5 = 1,414 millier
A 1h30, on a t = 1,5 heure et P = 2^1,5 = 2,828 milliers.
-----
Sauf distraction. 
Merci beaucoup j'essaye de faire la suite et je vous envois ce que j'ai fait.
2/Modélisation mathématique : "du discret au continu"
a) les hypothèses de travail:
Le nombre de bactéries en milliers à l'instant t en heures est noté f(t).
Hypothèses : (H1) f(t) est positif et définie sur 
(remarque : t négatif correspond aux instants avant le début de l'observation)
(H2) f(0)=1
(H3) f(t+1)=2 * f(t) (observation 1)
(H4) pour une durée t 
, = constante pour tout réel t.
b)La suite (f(n)) pour n entier.
Question 3: Déterminez les valeurs f(1) f(2) f(4) f(-1) f(-4)
J'ai trouvé :
Grâce à H3 on peut dire :
f(1)=2
f(2)=4
f(4)=16
f(-1)=-2
f(-4)= -16
Question 4 : pour n entier naturel (n
), que faut f(n) ?
De quelle nature est alors la suite des nombres (f(n)) ?
Question 5 : Pour n entier naturel, que vaut f(-n) ?
Pouvez vous vérifier ma question 3 et m'expliquer pour la question 4 et 5 s'il vous plait.
Merci
Erreur.
Question 3.
f(1)=2
f(2)=4
f(4)=16
f(0) = 1
f(-1)=f(0)/2 = 1/2
f(-2)=f(-1)/2 = 1/4
f(-3)=f(-2)/2 = 1/8
f(-4)=f(-3)/2 = 1/16
-----
Question 4.
Voir ma réponse précédente:
f(n) = 2^n
-----
Question 5
f(-n) = 2^(-n) = 1/(2^n)
-----
Sauf distraction.
f(1) f(2) f(4) ok
f(0)=2*f(-1)=1 (H avec t=-1)
donc f(-1)=1/2
8=f(4)/f(1)=f(-1)/f(-4)=1/[2*f(-4)] donc f(-4)=1/16 (d'apres H4)
question 4.
f(n)=2^n
on le demontre par un raisonnement par recurrence.
H2 sert pour l'initialisation.
H3 l'eredite de la propriete.
question 5.
f(-n)=1/f(n).
car f(n)/f(0)=f(0)/f(-n) => f(n)/1 = 1/f(-n)
(hypothese 4)
Merci beaucoup, il me reste plus que 3 questions à vous faire vérifier...
Propriété 1 : 
t, = f(
t)
Propriété 2 et 3 : f(-t) =
f(t-t') =
Question 6 : en remarquant que +
=1, montrer que f(
)=
2.
En déduire les valeurs de f(2,5) ; f(-0,5).
Quel est le nombre de bactéries à 0h30 ? à 1h30 ? Comparez vos réponses à la question 2.
ici j'ai trouvé :
f(1)=2 donc f(1/2)= 2 mais je ne sais pas comment le démontrer
f(3)=8 donc f(2,5)=8
et pour f(-0,5) je ne trouve pas.
A 0h30 le nombre de bactéries est de 2 soit de 1,414 millier
A 1h30 le nombre de bactéries est de 8 soit 2,828 milliers
Ce sont les memes réponses qu'à la question 2.
Question 7 : Montrez par un raisonnement analogue que (f(1/3))^3=2 ; que vaut alors le nombre f(1/3) ?
Je n'ai aucune idée...
Question 8 : Soient p et n deux entiers naturels. Montrez que t, f(p*t)=(f(t))^p;
en déduire que (f(1/p))^p=2 et (f(n/p))^p=2^n
Merci beaucoup si vous pouvez me vérifier la 6 et m'expliquer les autres s'il vous plait
s'il vous plait, quelqu'un peut m'aider pour la 6, la 7 et la 8
s'il vous plait qui peut m'aider.......
re
f(1/2+1/2)/f(1/2)=f(1/2)
en considerant la propriete 1 avec t=1/2 et delta t = 1/2.
donc f(1)=[f(1/2)]²
or f(1)=2 donc f(1/2)=V2
f(2,5)/f(2)=f(1/2) d'apres propriete 1 en prenant t=2 et deltat 0,5
donc f(2,5)=f(1/2)*f(2)=V2*4
je te laisse faire les suivants.
on arrive a f(1/3)
2/3+1/3=1
donc f(1)/f(1/3)=f(2/3)
or f(1/3)=f(2/3)/f(1/3) donc f(2/3)=f(1/3)²
donc f(1)=[f(1/3)]^3
donc 2=[f(1/3)]^3
donc f(1/3)=2^(1/3)
pour montrer f(p*t)=f(t)^p -> raisonnement par recurrence sur p.
p=0 ou p=1 pas de soucis.
f( (p+1)*t ) = f(pt + t) = f(pt) * f(t) d'apres propriete 1.
donc f( (p+1)*t ) = f(t)^p * f(t) = f(t)^(p+1)
dis le si tu n'as pas encore le raisonnement par recurrence.
de la en prenant t=1/p on demontre la suivante.
pour la derniere t=n/p
donc f(n/p)^p=f(n)=2^n d'apres question 4.
ps. je n'ai donne que les grandes lignes a toi de verifier tout ca (de bien le comprendre au passage) et de donner les bonnes justifications et de combler les oublis.
a+
ps2 si questions n'hesitent pas.
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