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Niveau seconde
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Des défis

Posté par
ptitelulu 15-04-10 à 12:32

Bonjour, pourriez-vous m'aider à réaliser cet exercire s'il-vous plait, je n'y arrive pas...
Merci d'avance !


Exercice :

1) L'année cachée : Sans calculatrice, comparer les nombres A, B, C et D.

A = 10052 - 10042
B = 1 + 2008 1 + 2009 x 2011 (Racine de 1 + 2008 et racine de racine de 1 + 2009 x 2011)
C = 20022 - 20032 - 20042 + 20052 - 20062 + 20072 + 20082
D = 20102 + 20112 - 20122 + 20132 - 20142 - 20152 + 20162

2 ) Dépasser 100 : Trouver le plus petit entier naturel n tel que :

1/(1+2) + 1/(2 + 3) + 1/(3 + 4) + ... + 1/(n + (n+1)) 100

Posté par
olive_68re : Des défis 15-04-10 à 12:55

Salut

Pour le 2. je ne te dirais que (pour le moment), que 3$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\fr{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

Je te laisse réflechir un peu..

1. A mon avis, en utilisant la 3eme identitée remarquable ( Dans les DEUX sens ) tu peux y arriver

Posté par
ptitelulure : Des défis 15-04-10 à 13:29

1) A = (1005 - 1004)(1005 + 1004) = 2009

Posté par
olive_68re : Des défis 15-04-10 à 13:37

Oui c'est déjà ça?

Transforme les autres (le b) est le plus difficile de tous))

Posté par
ptitelulure : Des défis 18-04-10 à 15:31

Je n'y arrive pas...

Posté par
olive_68re : Des défis 18-04-10 à 16:49

Je te fais le B et le C, tu ferras le D toute seule

3$B=\sqrt{1+2008}{1+2009\times 2011}=\sqrt{2009}\times \sqrt{1+(2010-1)(2010+1)}=\sqrt{2009}\times \sqrt{2010}

3$C=\sqrt{2002^2-2003^2-2004^2+2005^2-2006^2+2007^2+2008^2}=\sqrt{(2002+2003)(2002-2003)+(-2004+2005)(2005+2004)+(-2006+2007)(2006+2007)+2008^2}=\sqrt{-4005+4009+4013+2008^2}=\sqrt{4017+2008^2}

Or 3$2009^2=(2008+1)^2=2008^2+2\times 1\times 2008+1=2008^2+4017 donc 3$C=2009

Le D se fait de la même manière que le C, fait apparaître des Identitées remarquables partout sauf pour 2010².

Posté par
ptitelulure : Des défis 20-04-10 à 19:41

Bonjour !
Merci pour les 3 premiers.
Je voulais aussi vous demander, est-ce que, étant donné que le carré annule la racine, on peut faire :
C = 20022 - 20032 - 20042 + 20052 - 20062 + 20072 + 20082
C = 2002 - 2003 - 2004 + 2005 - 2006 + 2007 + 2008 donc C = 2009
????

Sinon, pour la question 2, je n'ai vraiment aucune idée...

Posté par
olive_68re : Des défis 20-04-10 à 21:47

Nan nan, 3$\sqrt{(a+b)^2=a+b mais 3$\sqrt{a^2+b^2}\neq a+b, la racine n'annule pas la somme de carré mais le carré d'une somme.

Posté par
ptitelulure : Des défis 21-04-10 à 10:38

Ah d'accord !

Donc j'ai fait le D

D = (2010 - 2012)(2011+2012)+(2013-2014)(2013+2014)+(2016-2015)(2016+2015)+20102
D = -4023-4027+4031+20102 = -4019+20102
or 20092 = (2010-1)2 = 20102-2*1*2010+1 = 20102-4019
Donc D = 2009

Donc A = B = C < D

Par contre pour la question 2, dépasser 100, je n'ai pas trop d'idée... J'ai tenté quelque chose, mais je ne sais pas si c'est ça :

1/(i+(1+1) = (1 (i-(i+1))/((i+(i+1)(i-(i+1)) = (1 (i-(i+1))/ (i-(i+1)) = (i-(i+1)) / i-i-1 = (1-(i+1))/ -1 = -i + (i+1)

Posté par
Niwetre : Des défis 21-04-10 à 10:50

tu es en bonne voie !!

tu as trouvé le terme géneral de la série ( tu veux trouver n tel que :
( de 1 a n)  (i+1) - i  >= 100

C'est ce qu'on appelle une série télescopique, compare le rang k et k+1 ( ou pour i=1 et i=2) tu verras que ta somme se simplifie très vite

Posté par
ptitelulure : Des défis 21-04-10 à 11:02

Je ne comprends pas très bien ce que je dois faire...

Posté par
ptitelulure : Des défis 21-04-10 à 11:57

Posté par
Niwetre : Des défis 21-04-10 à 12:54

Pas besoin de up le sujet si personne ne te reponds en 50 min ...

Et si tu ne comprends pas ce que tu dois faire lis déja la définition de la série téléscopique :
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_t%C3%A9lescopique

Si après tu ne vois toujours pas écris sur ta feuille les 10 premiers termes:
2 - 1
-2 + 3
+4 - 3

etc  tu devrais voir que tu peux simplifier ...

Posté par
ptitelulure : Des défis 21-04-10 à 14:42

Je suis désolé, mais je ne vois vraiment pas comment faire...

Posté par
ptitelulure : Des défis 21-04-10 à 16:17

Posté par
ptitelulure : Des défis 21-04-10 à 18:29

Help, s'il vous plait ! Je cherche depuis une heure mais je ne trouve pas la réponse...


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