salut
pourquoi y'a ces nombres apres la questions ?
c'est parmi eux ?

parmi tous les entiers naturels, je dirais 4.

parmi tes nombres 10.

hahaha
vous avez mal compris
les nombres que j'ai c'est la question mais je suis paresseuse pour réécrire a chaque fois:quand on divise n par , le reste est

masi je vais l'écrire pour mieux comprendre:
trouver le plus petit entier positif n tel que :
quand on divise n par 6 , le reste est 4
quand on divise n par 8 ,le reste est 6
quand on divise n  par9  le reste est 7
quand on divise n par 12 ,le reste est 10

a bin oui, la c'est different.

quand on divise n par 6 , le reste est 4
=> il existe q dans N tel que n=6*q+4
quand on divise n par 8 ,le reste est 6
=> il existe r dans N tel que n=8*r+6
quand on divise n  par 9  le reste est 7
=> il existe s dans N tel que n=9*s+7
quand on divise n  par 12  le reste est 10
=> il existe t dans N tel que n=12*t+10

on a quatre equations.
on peut les regrouper par deux => 2 equations diophantiennes. on les resouds chacune
on obtient pour chacune n=x*k+y ou x et y sont des nombres.
on regroupe les 2 solutions => 1 equation diophantienne
donc n=x'*k'+y' et on prend le plus petit.

tout ceci est bien long non ?

sinon :
on prend  n=12*t+10
t=0 => n=10 mais ca ne convient pas pour n=9*s+7.
t=1 => n=22 mais une des 3 ne va pas (au moins).
t=2 => n=34 pareil
t=3 => n=46 pareil
t=4 => n=58 pareil
t=5 => n=70 convient

en effet 70=11*6+4
         70=8*8+6
         70=9*7+7
         70=12*5+10
et 70 est le plus petit car ceux plus petit que 70 qui fonctionnent pour n=12*t+10 ne conviennent pas au probleme.

a+

j'ai mis en équation:
n1=6x+4
n2=8x+6
n3=9x+7
n4=12x+10
j'ai regroupeé,je ne trouve q'une seule équation:
-2x=2
x= -1
donc n=-2 et c'est faux

il y avait un piege et tu es tombe dans le panneau
n1=6x+4 ok
mais n2=8x+6
n3=9x+7
n4=12x+10
c'est faux. il ne faut pas choisir le meme quotient.
regarde mon post.
par contre on cherche Le plus petit tel que
quand on divise n par 6 , le reste est 4
quand on divise n par 8 ,le reste est 6
quand on divise n  par9  le reste est 7
quand on divise n par 12 ,le reste est 10
donc n1=n2=n3=n4
on prend les MEMES nombres dans le premier membre MAIS dans le secon membre les quotients sont DIFFERENTS.
a+

pour remprendre mon post :
cherchons les n tels que (on prendra le plus petit apres)
n=6*q+4
n=8*r+6
n=9*s+7
n=12*t+10

on a :
n=6*q+4
n=8*r+6

donc 6*q+4=8*r+6 donc 3*q-4*r=1
ceci est une equation diophantienne (on les resouds en terminale). solution :
q=4*k-1
r=3*k-1 k dans Z.
on revient a n=6*q+4
sachant que q=4*k-1
donc n=24*k-2

puis :
n=9*s+7
n=12*t+10
donc 9*s+7=12*t+10 =>3*s-4*t=1
equation diophantienne
s=4*l-1
t=3*l-1 l dans Z.

n=9*s+7
et s=4*l-1
donc n=36*l-2

donc :
n=24*k-2
n=36*l-2
donc 24*k=36*l
donc k=3*l/2 (ca s'arrange meme mieux que je ne pensais car je pensais retomber
sur une equation diophantienne)

OR (et c'est important) k est dans Z.
si l=1 d'apres k=3*l/2 on aurait k=3/2 ce qui n'est pas.
donc il faut faire attention sur le choix de l.

si on cherche tous les n qui verifient cela :

n=36*l-2 et 3*l/2 entier c'est a dire l pair et l dans Z.

maintenant cherchons le plus petit :
si l=0 n=-2 non car on veut n>=0
si l=2 k=3 donc n=24*3-2=70.
et c'est ma reponse du precedent post.

ps. cette reponse est bien plus longue et complique que ma premiere demonstration.
a+