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des intégrations à tous va pour les dieux des maths ...

Posté par
lyonnais 26-05-05 à 22:12

Bonjour à tous :

Voila, j'ai trouvé cet exo sur le net pour m'entrainer, et je n'y comprend pratiquement rien !
Pouvez-vous m'aider ?

Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul. Pour tout n on pose :

3$ I_n=\frac{(-1)^n}{n!}\time\int_1^{e} (ln t)^n dt

1°) a : calculer I1 -> ça j'ai réussi : je trouve -1
b : Montrer que pour tout entier naturel n non nul :

3$ I_{n+1} = I_n+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\time e

c : Démontrer par récurence que, pour tout entier naturel n non nul :

3$ In=e(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!})-1

2°) a : prouver que pour tout n non nul :

3$ 0\le \int_1^{e} (ln t)^n dt\le e-1

b : En déduire que pour tout n non nul :    3$ |I_n|\le \frac{e-1}{n!}

c : En déduire la convergence de la suite (In)

3°) Pour tout n non nul, on pose : 3$ S_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}

déduire des questions précédentes le limite de la suite (Sn)

Merci d'avance pour vos aides !

Posté par
Titi de la TS3re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 26-05-05 à 22:23

Ba voila un exo qui semble bien

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 26-05-05 à 22:25

comme dirait Titi

je suis la

je finis mes exos avt tout

Posté par
Titi de la TS3re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 26-05-05 à 22:41

Ouai sa yé j'ai trouvé ton 1b
Bon
In+1=[((-1)^(n+1))/(n+1!)]*(lnt)^(n+1)dt

On va d'abord calculer (lnt)^(n+1)dt
Pour cela on utilise une intégration par partie tel que
(lnt)^(n+1)=1*(lnt)^(n+1)
On pose u'(x)=1  donc u(x)=t
        v(x)=(lnt)^(n+1) donc v'(x)=(n+1)*(1/t)*(lnt)^n
Ainsi, on a:
(lnt)^(n+1)dt= [t*(lnt)^(n+1)]e->0 - t*(n+1)*(1/t)*(lnt)^n dt
soit:
(lnt)^(n+1)dt= [t*(lnt)^(n+1)]e->0 - (n+1)(lnt)^n dt

(lnt)^(n+1)dt= e - (n+1)(lnt)^n dt

In+1=[((-1)^(n+1))/(n+1!)]*(lnt)^(n+1)dt

In+1= e*((-1)^(n+1))/(n+1!)+ In.

Bon j'aime bien les maths mais je dois allé me pieuté, et ouai dur journée!!
a+;)






Posté par
Titi de la TS3re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 26-05-05 à 22:42

A toi H_aldnoer, car moi m'en vais!

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 07:19

merci Titi de la TS3 : j'ai tout compris !!

serait-il possible que l'on me vienne en aide pour la suite ?

merci d'avance !

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 15:38

slt


je me lance pour la suite :

3$\rm \blue\(P_n\): I_n=e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})-1

3$\rm \red au rang n=0 on a :

3$\rm \begin{tabular}I_0&=&\frac{(-1)^0}{0!}\times\Bigint_1^e\ln^0(t) dt&&&et&&&&I_0&=&e(\Bigsum_{k=0}^0\frac{(-1)^k}{k!})-1\\&=&\frac{1}{1}\times\Bigint_1^e1 dt&&&&&&&&=&e(\frac{(-1)^0}{0!})-1\\&=&1\times[t]_1^e&&&&&&&&=&e(\frac{1}{1})-1\\&=&[t]_1^e&&&&&&&&=&e-1\\&=&e-1\end{tabular}

3$\rm \magenta au rang n=0 on a donc bien \fbox{I_0=e(\Bigsum_{k=0}^0\frac{(-1)^k}{k!})-1} \rightarrow la proposition est donc initialise

3$\rm \red supposons \(P_n\) vrai pour un certain rang n est demontrons l'heredite c a d \(P_{n+1}\) est verifie soit :

3$\rm \blue\(P_{n+1}\): I_{n+1}=e(\Bigsum_{k=0}^{n+1}\frac{(-1)^k}{k!})-1

3$\rm par hypothese de reccurence : I_n=e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})-1 et ainsi :

3$\rm\begin{tabular}I_n&=&e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})-1\\I_n+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\times e&=&e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})-1+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\times e\\I_{n+1}&=&e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\times e-1\\I_{n+1}&=&e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!})-1\\I_{n+1}&=&e(\Bigsum_{k=0}^{n+1}\frac{(-1)^k}{k!})-1\end{tabular}

3$\rm \magenta la proposition \fbox{\(P_n\): I_n=e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})-1} est donc hereditaire

3$\rm \blue la proposition etant hereditaire et initialisee elle est donc vrai \forall n\in\mathbb{N}


@+ sur l' _ald_

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 15:38

A toi Titi,


Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 17:40

merci H_aldnoer je vois que ça ne te fais pas peur des factorels dans tout les sens.

En tout cas, merci encore, j'ai tout compris !

mais si tu as le temps ( et l'envie ! ) , n'hésite pas, continu lol

merci encore ...

lyonnais

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 17:46

Bonjour,

est-ce que le développement limité de exp(x) est au programme de terminale ?

Philoux

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 17:48

qu'entends tu par développement limité philoux ?

je pense que non, mais je peux ma tromper ...

Posté par
lolo5959re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 17:59

Bonjour philoux, bonjour lyonnais!

Je m'incruste dans votre conversation juste pour dire qu'en effet, les DL ne sont pas au programme de terminale...

Voilà

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:02

re lyonnais


les factoriels ... non elles sont sympas avec moi

3$\rm \blue pour t variant entre les bornes 1 et e c a d t\in[1;e] on a :

3$\rm\begin{tabular}1&\le&t\le e\\\ln(1)&\le&\ln(t)\le \ln(t)\\0&\le&\ln(t)\le 1\end{tabular}

3$\rm \blue en ecrivant n fois cette inequation il vient que :

3$\rm\begin{tabular}0^n&\le&\ln^n(t)\le 1^n\\0&\le&\ln^n(t)\le 1\end{tabular}

3$\rm\line(500)
3$\rm \blue en particulier \fbox{0\le\ln^n(t)} donc :
3$\rm\line(500)

3$\rm \red posons f_n(t): t\longrightarrow \ln^n(t) definie sur [1;e] , 1<e ; d'apres le \underline{th de la positivite} on a :

3$\rm\begin{tabular}0\le \Bigint_1^ef_n(t) dt\\0\le\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\end{tabular}

3$\rm \magenta on deduit alors que \fbox{\fbox{0\le\Bigint_1^e\ln^n(t) }} (1)tex] \\ \\ [tex]3$\rm\line(500)
3$\rm \blue d'autre part \fbox{\ln^n(t)\le1} donc :
3$\rm\line(500)

3$\rm \red posons u(t): t\longrightarrow 1 definie sur [1;e] , 1<e ; d'apres le \underline{th de l'ordre} on a :

3$\rm\begin{tabular}\Bigint_1^ef_n(t) dt\le \Bigint_1^eu(t) dt\\\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\le \Bigint_1^e1 dt\\\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\le [t]_1^e\\\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\le e-1\end{tabular}

3$\rm \magenta on deduit alors que \fbox{\fbox{\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\le e-1}} (2)

3$\rm\line(500)
3$\rm\line(500)
3$\rm \red de (1) et (2) on deduit alors que \fbox{0\le\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\le e-1


@+ sur l' _ald_

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:04

Merci à tous les deux, dommage !
Exp(x) = 1 +x +x^2/2! +x^3/3! +x^4/4! +...
en prenant x=-1 on retrouve le coef multiplicatif devant e.

Par ailleurs, ce devrait être la limite de la suite Sn : 1/e

Philoux

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:06

slt philoux


je confirme les dl ne sont pas au programmes


@+ sur l' _ald_

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:16

MERCI H-aldnoer !!! T'es le meilleur ...

Ca paraît si simple quand tu effectue les calculs !

merci , merci , merci !!

reste encore quelques questions et ça sera fini. Merci encore !

PS : philoux : bien l'enigme de clemclem ...

lyonnais

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:22

Bonjour,

Alors comme cela on parle de mes énigmes en allusion en fin de message

A plus

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:22

Lyonnais :
Puisque tu as répondu et qu'on ne peut pas en parler ici, je te fais un mail sur ton @ de profil
Philoux

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:26

>> H-aldnoer :

sans forcément me faire le développement ( parce que tu dois en avoir marre de tout tapper en latex -> au fait, magnifique toute la couleur que tu mets ! ) , as tu une idée de comment procéder après ?

PS : philoux : ok, j'attend ton mail, merci ...

lyonnais

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:31

re


pas de quoi

continuons

3$\rm \blue \fbox{\fbox{0\le\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\le e-1}} (1)

3$\rm \magenta si n est pair alors \frac{(-1)^n}{n!}=\frac{1}{n!}>0

3$\rm (1)\Rightarrow \begin{tabular}0\le\frac{1}{n!}\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\le \frac{1}{n!}e-1\\0\le I_n\le \frac{e-1}{n!}\end{tabular}

3$\rm \red on deduit en particulier \fbox{I_n\le \frac{e-1}{n!}} (2)

3$\rm \magenta si n est impair alors \frac{(-1)^n}{n!}=-\frac{1}{n!}<0

3$\rm (1)\Rightarrow \begin{tabular}0\ge-\frac{1}{n!}\Bigint_1^e\ln^n(t) dt\ge -\frac{1}{n!}e-1\\0\ge I_n\ge -\(\frac{e-1}{n!}\)\end{tabular}

3$\rm \red on deduit en particulier \fbox{I_n\ge -\(\frac{e-1}{n!}\)} (3)

3$\rm \blue de (2) et (3) on deduit alors que :

3$\rm\begin{tabular}-(\frac{e-1}{n!})\le I_n\le \frac{e-1}{n!}\end{tabular}

3$\rm \blue c a d \fbox{\fbox{|I_n|\le\frac{e-1}{n!}


@+ sur l' _ald_

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 18:40

c'est impressionant : comment tu fais ?

merci, merci, merci ... plus que deux questions et je suis aux anges !

je vais me répéter, mais tu peux pas savoir comment ça paraît simple quand on te voit faire ... chapeaux !

merci encore !

lyonnais

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:00

je suis la


je reflechis now

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:02

ok, merci, t'es vraiment trop cool !

je cherche ausi de mon coté ...

lyonnais

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:12

ensuite :

3$\rm\begin{tabular}I_{n+1}-I_n&=&I_n+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\times e-I_n\\&=&\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\times e\end{tabular}

voila ou j'en suis mais je n'arrive pas a déterminer le signe de ce "machin" ...

en faite ce n'est pas que je n'y arrive pas mais c'est que ca alterne ... tantot positif et tantot negatif

... donc on ne pas ainsi deduire la stricte monotonie puis un majorant ou minorant et ainsi la convergence ...

est tu sur que c un exo niveau terminal ?

car il y a bien une autre definition de la convergence mais bon ...




Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:17

oui, j'en suis sûr ( malheureusement ... )

Mais ne faudrait-il pas plutôt se servir du résultat précédent, cad que :

3$ |I_n|\le \frac{e-1}{n!}   ?

merci pour ton aide !

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:19

oups

je suis trop c**

3$\rm -(\frac{e-1}{n!})\le I_n\le\frac{e-1}{n!}

3$\rm \lim_{n\to+\infty} \frac{e-1}{n!}=0
et
3$\rm \lim_{n\to+\infty} -(\frac{e-1}{n!})=0

donc
3$\rm th des gendarmes :
3$\rm \lim_{n\to+\infty} I_n=0

donc
3$\rm \blue (U) admet une limite finie donc la suite converge

...
voila je pense que c'est cela

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:21

>le fait de faire tendre n->oo 0- < In < 0+ => In->oo
non ?

Philoux

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:26

la vache, dans l'affaire, je crois plutôt que c'est moi le con ...

j'aurais trop du le voir aussi !

merci ( allez, plus qu'une lol )

lyonnais

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:27

slt philoux

je n'ai pas compris ton raisonement parce que je n'ai pas compris tes notations

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:29

>H_al
bonjour

En effet, la fin c'est In->O (et non oo)

lapsus calami (pour faire plaisir à NightMare !)

Philoux

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:32

et pour finir :

3$\rm S_n=\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}

or
3$\rm I_n=e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})-1
i.e.
3$\rm I_n+1=e(\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!})
i.e.
3$\rm \frac{I_n+1}{e}=\Bigsum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}
i.e.
3$\rm S_n=\frac{I_n+1}{e}

3$\rm \lim_{n\to+\infty} I_n=0
3$\rm \lim_{n\to+\infty} 1=1

3$\rm par addition \lim_{n\to+\infty} I_n+1=1

3$\rm \lim_{n\to+\infty} I_n+1=1
3$\rm \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{e}=\frac{1}{e}

3$\rm par produit \lim_{n\to+\infty} \frac{I_n+1}{e}=\frac{1}{e}

donc
3$\rm \blue \lim_{n\to+\infty} S_n=\frac{1}{e}

et voila

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:34

re philoux


eh bien tout est bien qui finit bien

@+
_ald_
PS: lyonnais simple exos d'entrainement ou DM ?

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:35

>Beau travail H_a

tu confirmes ce que je supputais à 18:04

Philoux

Posté par
lyonnaisre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:35

simple exo d'entrainement, je te le promet !

merci à toi. je relis tout ça et je te dis ce que je comprend pas !

merci beaucoup, je crois que tu viens de me faire aimer les factoriels ...

lyonnais

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:40

np lyonnais


fait moi signe si ...

sinon DM ou exos d'entrainement si je pose la question c uniquement pour savoir si cété un DM le niveau parce que ceux que nous donne notre prof

sinon voila bon courage

@+ sur l' _ald_
PS : yen a d'autre sur le site des exos ?

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:50

>Bonne idée H_a

Ce pourrait être un exo résolu sur l'
car il est assez complet.

Proposes-le à T_P ?

Philoux

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:54

> philoux

je pense qu'on pourrait le proposer a T_P mais en ce moment je ne peut pas m'en charger BAC oblige

et si tu le faisait ?

Posté par philoux (invité)re : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 19:58

>H_a

Je n'ai pas ta maîtrise du LTX...

et c'est moins fun de reprendre un job qui n'est pas à soi !

Félicitations encore

Philoux

Posté par
H_aldnoerre : des intégrations à tous va pour les dieux des maths ... 27-05-05 à 20:08

bon bon


mais aprés les épreuves

++


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