Niveau Reprise d'études

Déterminant par bloc

Posté par
manu_du_40 07-08-21 à 23:50

Bonsoir à tous,

je me pose juste deux petitex question à propos de la formule du déterminant par bloc :

Si $M=\begin{pmatrix} A &B \\ 0 &C \end{pmatrix}$ , alors $det(M)=det(A) \times det (C)$ .

Il m'arrive parfois de me retrouver avec le bloc nul en haut à droite càd avec une matrice du genre :
$M=\begin{pmatrix} A &0 \\B &C \end{pmatrix}$
Je me demande si la formule reste toujours correcte dans ce cas là. Je pense que oui mais pour le justifier, je permute les colonnes du bloc A avec celles du bloc nul puis les lignes du bloc nul (qui est donc en haut à gauche ) avec celles du bloc C (qui est en bas à gauche) . Si les blocs sont tous de la même taille, ça fait un nombre pair de permutations donc a priori, le déterminant ne change pas. Je me retrouve donc avec la matrice
$M=\begin{pmatrix} C&B \\0 &A \end{pmatrix}$ et j'obtiens bien ce qu'il faut.

Du coup, ma 2e question est un peu liée à la première : est-ce que la formule marche encore si les blocs A et C de la matrice de départ ne sont pas de la même taille ? Dans ce cas là, les blocs B et nul ne sont pas carrés d'où mon problème.

Vous en remerciant.

Manu