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Determiner forme exponetionnel Z et que nombre réel

Posté par
Melvyn33 11-11-22 à 21:36

Bonsoir à tous,

j'ai un petit soucis de compréhension sur cet exercice dont on m'a donné la correction.

1) déterminer la forme exponentielle  z= -2-2i z^{4}=2\sqrt{2}

\left|z \right|}= \sqrt{\left(-2 \right)^{2}+\left(-2 \right)^{2}}=2\sqrt{2}

cos \theta = \frac{-2}{\sqrt{2}} =-\frac{\sqrt{2}}{2}
sin \theta =  \frac{-2}{\sqrt{2}} =-\frac{\sqrt{2}}{2}
donc  \theta = \frac{5\pi }{4} \left[2\pi \right] donc   z= 2\sqrt{2} \: e\: ^{i\frac{5\pi }{4}}
ou  \theta = \frac{-3\pi }{4} \left[2\pi \right] donc  z= 2\sqrt{2} \: e\: ^{i\frac{-3\pi }{4}}
cette première partie c 'est ok pour moi

2) Montrer que z^{4} = est un nombre réel que l'on déterminera

z^{4} = \left(2\sqrt{2} \right)^{4} \times \left(e^{i \frac{5\pi }{4}} \right)^{4} \right) =\left( 2\sqrt{2} \right)^{4} e ^{i5\pi } = -\left(2\sqrt{2} \right)^{4} = -2^{4}\times 2^{2}= -2^{6} on obtient z4 = -64

je comprend pas d'où il sort  ce - (moins)
Je ne comprend pas non plus la disparition de  e ^{i5\pi }
moi en appliquant la formule  j'ai :

z^{4} = \left(2\sqrt{2} \right)^{4} \times \left(e^{i \frac{5\pi }{4}} \right)^{4} \right) =\left( 2\sqrt{2} \right)^{4} e ^{i5\pi } = \left( 2\sqrt{2} \right)^{4} e ^{i5\pi } = 64

quelqu'un veut bien s'il vous plait m'aider à comprendre?

Merci à vous

Posté par
Witaekre : Determiner forme exponetionnel Z et que nombre réel 11-11-22 à 21:45

Bonsoir,

Tout simplement : e^{i5\pi} = (e^{i\pi})^5=(-1)^5=-1

En effet e^{i\pi} = -1

En espérant t'avoir aidé.

Posté par
Pirhore : Determiner forme exponetionnel Z et que nombre réel 11-11-22 à 22:29

Bonjour  Melvyn33,

personnellement je ne comprends pas ton énoncé ni ta résolution

z= -2-2i z^{4}=2\sqrt{2}

quel est ton véritable énoncé ?

Posté par
Melvyn33re : Determiner forme exponetionnel Z et que nombre réel 11-11-22 à 22:39

Pirho @ 11-11-2022 à 22:29

Bonjour  Melvyn33,

personnellement je ne comprends pas ton énoncé ni ta résolution

z= -2-2i z^{4}=2\sqrt{2}

quel est ton véritable énoncé ?


oui, merci je viens juste d'apprendre en latex et j'ai fait une coquille

z= -2 -2i

merci, j'ai compris avec la solution de Witaek et cela m'a bien aidé.
merci encore

Posté par
Pirhore : Determiner forme exponetionnel Z et que nombre réel 11-11-22 à 22:48

OK

mais tu peux faire plus rapidement

z=-2\,(1+i)=2\,e^{i\pi}e^{\dfrac{i\pi}{4}}=2\,e^{\dfrac{i\,5\pi}{4}


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