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déterminer ImP

Posté par
pauppau 31-10-07 à 15:55

Bonjour,
Je dois faire un exercice et j'ai un problème avec l'une des questions.
Voici l'énoncé:
Soit P une matrice et a b c des réels tel que a²+b²+c²=1
P=
a² ab ac
ab b² bc
ac bc c²

Calculer le déterminant de P.
J'ai trouvé detP=0

Déterminer KerP et ImP
Pour KerP, J'ai posé P(X)=0 avec X=(x,y,z)
J'ai trouvé 7 cas différents.. dépendant de a b c nuls ou non.
Ca me paraît beaucoup mais je ne vois pas comment simplifier..
C'est normal d'avoir autant de cas ??

Pour ImP, J'ai posé P(Y)=X avec Y=(x',y',z') et X=(x,y,z)
Pareil je sais qu'il y a plein de cas mais je suis déjà bloquée pour le premier cas avec a,b,c0 car j'obtiens:
ax'+by'+cz'=x/a
ax'+by'+cz'=y/b
ax'+by'+cz'=z/c

=>x/a=y/b=z/c mais cela n'exprime rien des coordonnées de Y en fonction de X..
Alors que normalement pour exprimer ImP je dois trouver x' y' z' en fonction de x y et z ???

Voilà j'espère que vous pourrez m'éclaircir un peu.

Posté par
mikayaoure : déterminer ImP 31-10-07 à 16:01

pauppau, lafol t'avait posé une question ici   valeurs propres-vecteurs propres

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 31-10-07 à 16:10

Merci je n'avais pas vu. Heureusement que tu es là mikayaou.

Posté par
mikayaoure : déterminer ImP 31-10-07 à 16:11



mais je suis incapable de t'aider pour ce topic :snif:

d'autres sur l'île sont très compétents dans ce domaine

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 31-10-07 à 16:14

c'est pas grave merci quand même

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 31-10-07 à 17:17

Personne ne peut m'aider ?

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 31-10-07 à 18:15

svp..

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : déterminer ImP. 31-10-07 à 20:22

Bonsoir ;

Ici on identifie en fait la matrice P à l'endomorphisme de \mathbb{R}^3 (euclidien canonique) qui lui est canoniquement associé .
On identifie aussi le vecteur (x,y,z) de \mathbb{R}^3 à la matrice colonne \(x\\y\\z\) .

Si on note U le vecteur colonne \(a\\b\\c\) , les vecteurs colonnes de P sont respectivement \hspace{5}aU , \hspace{5}bU et \hspace{5}cU ,
ce qui prouve que ImP=\mathbb{R}U qui est de dimension 1 vu que le vecteur U est non nul (a^2+b^2+c^2=1)
(il va de soit que P n'est pas inversible vu que ImP\neq\mathbb{R}^3)

X=\(x\\y\\z\)\in KerP\Longrightarrow PX=0\Longrightarrow \underb{U\hspace{5}^tU}_{P}X=0\Longrightarrow\hspace{5}\underb{^tUU}_{1}\hspace{5}^tUX=0\Longrightarrow\hspace{5}^tUX=0\Longrightarrow\hspace{5}ax+by+cz=0
ce qui veut dire que KerP=(\mathbb{R}U)^{\perp}

En fait P n'est autre que le projecteur orthogonal de \mathbb{R}^3 sur \mathbb{R}U (sauf erreur bien entendu)

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 31-10-07 à 20:35

Merci de m'avoir répondu.
J'ai très bien compris pour ImP j'avais oublié que les colonnes d'une matrice définissent aussi ImP.

Par contre je ne comprends pas ce que vous avez fait pour KerP à partir de UUX=0..

Et je ne comprends pas non plus pourquoi c'est un projecteur orthogonal de R3 sur RU..

Pouvez vous m'expliquer svp ?

Merci d'avance

Posté par
mikayaoure : déterminer ImP 01-11-07 à 09:44

comme ton pseudo l'indique, pauppau, j'ai bien vu que c'était très pressé

mais tu vois, tout vient à qui sait attendre ( et parmi les plus compétents, tu as tiré le gros lot )

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 10:14

Oui c'est vrai que c'était pressé... enfin non mais j'aime pas quand je comprends pas quelque chose.. et d'ailleurs il y a toujours un truc que je comprends et pourtant j'ai attendu mais ça vient pas quand même

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 10:14

Il y a toujours un truc que je comprends pas et pourtant j'ai attendu mais ca vient pas quand même

Posté par
mikayaoure : déterminer ImP 01-11-07 à 10:18



reste plus qu'à upper de temps en temps

Posté par
H_aldnoerre : déterminer ImP 01-11-07 à 11:08

PX=0 c'est bon ?

ensuite il faut remarquer que U^tU=P

Donc on a U^tUX=0

soit ^tU(U^tUX)=^tU(0) d'ou (^tUU)^tUX=0

maintenant remarque que (^tUU)=a^2+b^2+c^2=1 ce qui donne ^tUX=0 ce qui donne ax+by+cz=0

j'ai oublié la notion d'orthogonalité, je peux pas t'aider plus !
c'est quoi E^{\perp} ??

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 11:11

Je ne comprends pas ce que signifie UU=P avec le drole de petit symbole entre les deux U..

Posté par
H_aldnoerre : déterminer ImP 01-11-07 à 11:14

comprendre : transposée de U
si U=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} alors ^tU=\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 11:20

J'ai compris merci par contre je n'aurais jamais remarqué ca toute seule.. c'est compliqué quand même je trouve.
C'est faut si pour le Ker je fais une étude de cas pour différencier les cas ou a b c sont nuls etc ?? j'ai obtenu 7 cas. C'est un peu long mais bon je voulais savoir si c'est faux ou si ca va quand même.

Posté par
H_aldnoerre : déterminer ImP 01-11-07 à 11:31

Si au final tu retrouve le même résultat, il n'y a pas de raison pour cela soit faux je pense.

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 11:33

Merci beaucoup

Posté par
H_aldnoerre : déterminer ImP 01-11-07 à 11:34

l'avantage, c'est qu'ici tu obtiens une démonstration assez "élégante".

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 11:35

Oui c'est sûr que ca rend mieux et c'est plus rapide.

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 17:14

Par rapport à ImP je pensais comprendre mais en fait non..
Pour moi ImP={(aU,bU,cU)}={(a,b,c)U}=R3U non ??
Merci de m'expliquer..

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 01-11-07 à 19:40

Personne ne peut m'aider ??

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 02-11-07 à 16:41

?????

Posté par
mikayaoure : déterminer ImP 02-11-07 à 16:52

salut pauppau : c'est les vacances

les spécialistes de ce domaine sont plutôt nocturnes ...

Posté par
mikayaoure : déterminer ImP 02-11-07 à 16:53

...ou en décalage horaire ( je pense à otto, entre autres )

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 02-11-07 à 17:29

lol.. sacrès décalage horaire alors.
On verra ce soir, enfin les spécialistes n'étaient pas nocturne hier soir..
Ils le seront peut être plus ce soir

Posté par
veledare : déterminer ImP 02-11-07 à 22:26

bonsoir pauppau

si je comprends bien ce que tu as fait pour trouver KerP tu es amenée à résoudre le système
a(ax+by+cz)=0
b(ax+by+cz)=0
c(ax+by+cz)=0
(a,b,c)est différent de(0,0,0) puisque a²+b²+c²=1 ,au moins l'un des trois réels est non nul donc le système se réduit à ax+by+cz=0  KerP est donc un plan
il n'y a pas 7 cas à considérer

Posté par
veledare : déterminer ImP 02-11-07 à 22:46

ImP=vec<aU,bU,cU> mais les trois vecteurs sont colinéaires à U qui est non nul car a²+b²+c²=1 donc Imp=vec<U>  c'est une droite
c'est ce que t'a expliqué elhor je ne vois pas ce que tu ne comprends pas, ton écriture de Imp dans ton post d'hier 17h40 est inexacte

Posté par
pauppaure : déterminer ImP 02-11-07 à 23:41

Bonsoir veleda,

Pour KerP j'avais différencié 7 cas de cette facon:
en imaginant que a=0,b0,c0 dans ce cas là le système devient
b(by+cz)=0
c(by+cz)=0
<=>y=(-c/b)z

KerP=Vect{(0,-c/b,1)}

Et j'ai fait ca pour chaque cas..

Je ne sais pas si c'est faux en tout cas je viens de comprendre que c'est inutile de faire tout ca vu qu'il y a au moins un réel non nul, et il reste donc au moins une équation ax+by+cz=0

Pour Imp, ce qui me gênait c'était le devant le U je n'étais pas habitué à cette notation (Imp=U),je comprends mieux avec Vect{U} et je n'avais pas fait attention que les trois vecteurs étaient colinéaires..

Merci de m'avoir expliquer

Posté par
veledare : déterminer ImP 03-11-07 à 12:15

je t'en prie
ledevant U veut dire que  Imp ={ U} avec réel


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