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Déterminer la nature d'un nombre rationnel

Posté par
Ritoune
20-11-22 à 19:19

Bonjour,

Selon vous y a t-il un moyen de savoir, sans calculatrice et sans calcul trop lourd, si une fraction admet un développement décimal périodique ou non ?

Par exemple à la calculatrice : 1/3 = 0,3333... (développement périodique).

Alors que 25/7 = 3,57142857... (développement non périodique)

(ces deux exemples sont des nombres rationnels)

Merci

Posté par
ty59847
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 19:53

Vérifie ce que tu as écrit.

Citation :

1/3 = 0,3333... (développement périodique).
25/7 = 3,57142857... (développement non périodique)

Il y a une de ces 2 affirmations qui est fausse.

Posté par
co11
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 21:27

Bonsoir, pas si simple ce sujet
Pour compléter ce que t'a répondu ty59847, poursuis un peu le développement de 25/7, à la main de préférence, histoire de voir ce qui se passe et tu trouveras :
3, 5714285714285714 ..... etc
Tu vois la période ?

Posté par
co11
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 21:32

A part cela, je suppose que ce que tu appelles fraction est un quotient de 2 entiers ?
Si tu veux poursuivre, à ta disposition ....

Posté par
Ritoune
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 21:41

Ah j'avais pas vu  😥

Disons 63/17 = 3,70588235294118... (développement non périodique)

Posté par
ty59847
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 21:55

Ah?  tu es sur que le développement n'est pas périodique ?

Posté par
alb12
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 22:42

salut,
"Disons 63/17 = 3,70588235294118... (développement non périodique)"
un peu faiblarde ta calculatrice !

(appuyer deux fois sur Exec)

Posté par
co11
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 22:57

Encore une fois, fais la division "à la main" et tu verras peut-être ce qu'il se passe.
Mais arrête aussi d'augmenter les dénominateurs, les périodes vont augmenter ..... Ah ah pourquoi ?

Et aussi, je reviens un peu en arrière mais ça a son importance :
Par exemple :
3 = 3, 00000 ..... périodique
5,73 = 5, 73000000...... périodique
1/5 = 0,2 = 0,2000 ....  idem
Ce sont des nombres rationnels (quotients de 2 entiers) mais décimaux.
Là est peut-être ta question ?

Posté par
LeHibou
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 23:06

Bonsoir,

Un raisonnement très simple pour la fraction a/b :
dans les étapes successives de la division de a par b, le reste ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, soit 0, 1, ...b-1
Donc, au bout de au plus b étapes, on retombe sur un reste déjà obtenu, et on recommence une séquence d'étapes de la division déjà parcourue.
Et donc, le développement est nécessairement périodique

Posté par
ty59847
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 20-11-22 à 23:21

La division 'à la main' dont on parle, c'est ceci ( )

A chaque étape, on a un 'reste' ; si le reste est 0, la division est finie, si le reste n'est pas 0, la division continue.
Quand on divise par 7, il n'y a que 6 restes possibles. Et donc au bout de 6 étapes, on est sûr de retomber sur un reste déjà vu. Et donc la période a au max une longueur de 6 (on a vu, elle a longueur de 6 : 571428). Dans une division par 17, la période sera de 16.

Dans une division par un entier d, il y a toujours une période, la longueur de cette période est au maximum de d-1.
Et petit bonus, la longueur de la période est toujours un diviseur de d-1.  Mais ça, c'est peut-être plus compliqué à justifier.

Posté par
Ritoune
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 21-11-22 à 10:10

alb12 @ 20-11-2022 à 22:42

salut,
"Disons 63/17 = 3,70588235294118... (développement non périodique)"
un peu faiblarde ta calculatrice !

(appuyer deux fois sur Exec)


Avec cette calculatrice j'ai l'impression que toutes les fractions sont périodiques... 😕

Posté par
alb12
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 21-11-22 à 10:30

conjecture interessante voir
Travaille les autres interventions .

Posté par
ty59847
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 21-11-22 à 10:30

Euhh, c'est l'inverse.
Tu as l'impression qu'elles ne sont pas périodiques, mais toute fraction est périodique.
On t'a expliqué pourquoi.

Et ta calculatrice n'est pas en cause. si on divise 37 par 89 par exemple, il faudrait afficher une grosse centaine de chiffres pour voir la période se répéter assez clairement.
Afficher 100 chiffres après la virgule, ça n'a pas de sens.

Il y a les impressions, ce qui semble vrai en regardant la calculatrice, et il y a les connaissances, la logique : on a la certitude que toute fraction entre entiers est périodique. (c'est prouvé plus haut)
Il faut s'appuyer sur les connaissances plus que sur les impressions.

Même si les impressions, dans beaucoup de cas, ça peut aider.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 21-11-22 à 13:45

bonjour,

"la longueur de la période est toujours un diviseur de d-1"
faux
exemple
1/77= 0.012987012987012987...
période de longueur 6
qui n'est pas un diviseur de 76

à ce niveau on va juste dire que c'est au maximum d-1 point final.

Posté par
ty59847
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 21-11-22 à 13:51

lol ...
Ma mémoire défaille.
ça confirme ce que je disais : ce qu'on sait prouver, on peut l'utiliser ; ce qu'on croit ou croit savoir, il faut le vérifier avant de l'affirmer.

Posté par
Ritoune
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 21-11-22 à 19:43

Ok ✅ merci à tous j'ai appris quelque chose. Donc seuls les nombres irrationnels ont un développement décimal non périodique.

C'est marqué aussi sur Wikipédia

Posté par
Ritoune
re : Déterminer la nature d'un nombre rationnel 21-11-22 à 19:45

:

Déterminer la nature d\'un nombre rationnel



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