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Déterminer un encadrement

Posté par
Rouhi
14-09-21 à 20:16

Bonsoir à tous les membres du groupe.
J'ai un exercice qui cause un peu de soucis
Énoncé :la figure ci-contre représente une position d'un disque de centre A et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle BAC dans l'intervalle]0,π].
Question : déterminer un encadrement d'amplitude 10^-3  d'une mesure de l'angle BAC pour laquelle il y'a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 20:19

La première idée est l'aire d'un triangle qui base x hauteur divisé par 2 et l'air d'un disque qui est πxR^2(coe R=1) , donc S(d)=π

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 20:29

Bonsoir

Vous avez la possibilité de joindre une image donc où est-elle ?

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 20:42

ABC est un triangle équilatéral circonscrit à un disque de centre A et de rayon 1.
J'ai des difficulté à schématiser par le logiciel en ligne.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 21:00

Bonsoir,
Sans la figure qui est jointe à l'exercice, difficile d'aider.

Citation :
On fait varier la mesure en radian de l'angle BAC
donc le triangle n'est pas équilatéral à priori.
Et comment savoir ce qui est hachuré ou quadrillé ?

Le bouton "Img" sous la zone de saisie permet de joindre une image.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 21:01

Vous avez la figure sur votre énoncé. Vous pouvez la scanner et l'envoyer

voir FAQ question 05

Surface  hachurée ? quadrillée ?

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 21:07

Voici l'image en question

Déterminer un encadrement

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 21:35

Que vaut CB  ?

Appelez par exemple I son milieu

En utilisant les relations trigonométriques  calculez CI

puis AI enfin l'aire du triangle ABC

Aire du secteur angulaire est \dfrac{\alpha\times R^2}{2}

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 21:39

S'il vous plaît plus de précisions je suis un peu perdu.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 21:56

La partie quadrillée est bien le triangle ABC.

Pour calculer l'aire on a besoin de BC et de AI, c'est-à-dire la longueur de la hauteur correspondante

  AIB ou ACI sont des triangles rectangles  on peut donc utiliser la trigonométrie vue en 3e  

\sin\widehat{A}  =\dfrac{\text{coté opposé }}{\text{hypoténuse}}

\cos\widehat{A}  =\dfrac{\text{coté adjacent }}{\text{hypoténuse}}

On sait aussi que \widehat{A}=\dfrac{\alpha}{2}

Quelle est l'aire du triangle ABC ?

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:02

C'est base x hauteur divisé par 2

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:03

S'il vous plaît comment l'angle A= Alpha/2?
Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:08

Il est bien entendu qu'ABC est un triangle isocèle donc la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane médiatrice bissectrice  par conséquent  l'angle en A dans le triangle ABI vaut bien la moitié de l'angle en A dans le triangle ABC

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:11

Merci.
Aide-moi à montrer l'égalité.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:24

Vous avez calculé l'aire du triangle  en rouge sur la figure   l'aire du secteur angulaire


Pour qu'il y ait égalité on devra avoir l'aire du triangle = l'aire de la partie en brun  ici, c'est-à-dire la moitié du secteur circulaire.

Déterminer un encadrement

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:29

S'il vous plaît essayer de rédiger pour que je puisse mieux voir.
Merci d'avance.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:36

Je vous ai donné des indications  donc c'est à vous maintenant de proposer une solution.

Ici, on ne traite pas les problèmes  à votre place.

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:44

CI=sinÂ= la base
AI=cosÂ=la hauteur
ABC=sinÂcosÂ/2
Guide-moi pour le reste.
Merci.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 14-09-21 à 22:50

On cherche la valeur de \alpha   donc il faut tout écrire avec \alpha

reprenez ce que j'ai écrit sur la figure

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 00:24

Comment dois je exprimer l'angle ?

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 07:43

En fonction de  \alpha   voir dessin

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 07:48

Comme j'ai exprimer ABC en fonction de sinÂcos qu'est ce que je dois faire par après.
J'ai un peu de mal à trouver sur le schéma guide-moi et je vais m'en sortir.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 07:57

On a donc CI= \sin\dfrac{\alpha}{2} donc BC= 2\ \sin\dfrac{\alpha}{2}

on a d'autre part AI= \cos\dfrac{\alpha}{2}

on a donc l'aire du triangle ABC

Ne pas simplifier \dfrac{2}{2} car

2 \sin \theta\cos\theta= \sin(2\theta)

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 08:08

D'accord,maintenant  pour montrer l'égalité je dois prendre l'aire de la partie angulaire Alpha/2 - sin(2Tete)=sinÂcosÂ.
Où bien comment.
Merci d'avance

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 08:12

On a donc  Aire du triangle = \dfrac{1}{2} aire du secteur angulaire

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 08:15

L'objectif c'est de donner un encadrement à 10^-3
Aire du triangle=1/2 air de secteur angulaire est que je peux trouver l'encadrement.
Merci.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 08:19

Mais pour \theta petit  on a \sin \theta\approx \theta

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 08:24

Air du disque vaut π et air du secteur angulaire vaut combien ?

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 08:36

Aire d'un secteur angulaire d'angle \theta en radians

\dfrac{ \theta\times R^2}{2}

Posté par
Rouhi
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 09:01

Est-ce que tu peux détaillé un peu s'il te plaît ?
Merci.

Posté par
hekla
re : Déterminer un encadrement 15-09-21 à 09:02

Graphiquement intersection des deux courbes Déterminer un encadrement

Avec GeoGebraDéterminer un encadrement



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