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Déterminer un ensemble de points
Bonjour, j'aurais besoin de votre afin de pouvoir poursuivre un exercice.
Voici l'énoncé et mes premières recherches :
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (o;;
;
), on donne les points :
A(2;1;3) ; B(-3;-1;7), C (3;2;4).
1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés.
Pour ce faire, j'ai regardé si les vecteurs et
sont colinéaires.
(-5;-2;4)
(1;1;1)
On constate qu'il n'existe pas de réel k tel que =k
donc les
vecteurs ne sont pas colinéaires. On peut donc dire que les points A,B et C ne sot pas alignés.
2. d est la droite de représentation paramétrique :
a) Montrer que la droite d est orthogonale au plan (ABC).
Pour ce faire, on sait que :
Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
On cherche alors le vecteur directeur de la droite d qu'on va appeler v
Donc d'après la représentation paramétrique (2;3;1).
Ensuite, pour trouver le vecteur normal au pal, on suppose que est orthogonale à
et
et a pour coordonnée
=(a;b;c).
On cherche donc à montrer que ce vecteur est orthogonale aux deux vecteurs du plan.
Pour ce faire, on utilise le produit scalaire :
.
=0
-5a+(-2)b+4c=0
et .
=0
a+b+c=0
J'ai alors essayé de chercher les valeurs de a, b et c, mais je n'ai pas trouvé de valeurs qui marchent dans les deux cas. J'ai utilisé la méthode de substitution en vain.
Je n'ai de ce fait pas encore pu répondre à la suite de l'exercice. Cependant, je vous mets quand même la totalité de l'énoncé.
b) Donner une équation cartésienne du plan (ABC)
3.a) Déterminer les coordonnés du point d'intersection H de la droite d et du plan (ABC).
b) Déterminer des nombres réels non nuls de a, b et c tels que :
a+b
+c
=
.
4. Déterminer la nature de l'ensemble R des points M de l'espace tel que :
(-2-
+2
). (
-
)=0
Conseil : penser à utiliser l'équation de Chasles dans la 1ère parenthèse de façon à exploiter la relation obtenue à la question 3.b).
Je vous remercie d'avance pour vos réponses et votre aide. Bonne journée à tous.
salut
2a/ : attention une droite possède une infinité de vecteurs directeurs
et tu as fait une erreur de signe
de même pour un vecteur normal tu as donc les relations :
5a + 2b - 4c = 0
a + b + c = 0
tu as deux équations et trois inconnues donc il n'y a pas de solution unique puisqu'il n'y a pas qu'un vecteur normal mais une infinité
et si tu prenais c = 0 et en déduisais alors les valeurs de a et b ?
Bonjour,
question 2.a)
une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites non parallèles de ce plan
les droite (AB) et (AC) par exemple , vu que tu as montré que les points ne sont pas alignés.
2b) écrire que le point M (x,y,z) quelconque de (ABC) satisfait à AM orthogonal à d
(un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de d grâce à la question précédente)
à suivre pour la suite. (chaque chose en son temps)
Bonjour,
Pour montrer que la droite d est orthogonale au plan (ABC) plusieurs méthodes sont possibles.
La plus simple est de démontrer qu'un vecteur directeur de la droite d est orthogonal aux vecteurs AB et AC.
( ça revient en fait à démontrer que la droite d est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC). Les droites (AB) et (AC) étant sécantes d'après 1)).
Remarque : un vecteur directeur pour une droite, un vecteur orthogonal pour un plan et pas "le" ; car il y en a une infinité.
Je ne reviendrai que vers 17h15.
Mais d'autres aidants passeront sans doute d'ici là 
oui je voulais d'abord poursuivre sur son raisonnement
puis ensuite proposer plus simplement ce que vous dites : si d est orthogonale à P alors un vecteur directeur de d est normal à P donc à ...
moi aussi je vais être présent en pointillé ... 
remarquer que "poursuivre le raisonnement" à partir de
ne va pas marcher avec :
et si tu prenais c = 0 et en déduisais alors les valeurs de a et b ?
il faut prendre un c non nul
par exemple c = 1
salut
2a/ : attention une droite possède une infinité de vecteurs directeurs
et tu as fait une erreur de signe
de même pour un vecteur normal tu as donc les relations :
5a + 2b - 4c = 0
a + b + c = 0
tu as deux équations et trois inconnues donc il n'y a pas de solution unique puisqu'il n'y a pas qu'un vecteur normal mais une infinité
et si tu prenais c = 0 et en déduisais alors les valeurs de a et b ?
Si c=0 on trouve que a=0 et b=0
donc
remarquer que "poursuivre le raisonnement" à partir de
ne va pas marcher avec :
et si tu prenais c = 0 et en déduisais alors les valeurs de a et b ?
il faut prendre un c non nul
par exemple c = 1
Dans ce cas-là a=2 b=-3 et du coup c=1
Si c=1 alors:
L'équation -5a-2b+4c = 0 est équivalente à l'équation 5a+2b-4c= 0
(que l'on prenne AB ou BA ça revient au même)
oui
(2; -3,; 1) est bien un vecteur normal
et donc ... hé hé...
Donc si on reprend le tout :
On a un vecteur directeur de d (2;-3;1)
et un vecteur normal du plan (ABC) (2;-3;1)
Il existe donc un réel k tel que =k
, ici k=1.
et
sont colinéaires (Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).)
Donc d est orthogonale au paln (ABC)
voila
on pouvait faire plus simple en calculant les produits scalaires et
(il n'y a aucun système à résoudre)
En effet, je me suis un peu compliqué le travail, merci.
J'ai donc poursuivi l'exercice :
b) Donner une équation cartésienne du plan (ABC)
On peut donner : 2x-3y+1z comme équation cartésienne du plan (ABC)
3.a) Déterminer les coordonnés du point d'intersection H de la droite d et du plan (ABC).
On appelle le point d'intersection entre la droite d et le plan (ABC) M de coordonnées (x;y;z). On cherche ses coordonnés précisent. Pour ce faire, je résous le système d'équation suivant :
Donc M(-39/7;-15/7;33/7) le point d'intersection de la droite d et du plan (ABC).
Je ne sais pas trop comment m'y prendre pour la question suivante.
Au temps pour moi, j'ai oubliée d dans l'équation cartésienne
b) Donner une équation cartésienne du plan (ABC)
On peut donner : 2x-3y+1z+2 comme équation cartésienne du plan (ABC)
pour calculer d j'ai pris les coordonnées de A :
2(x-2)-3(y-1)+z+3=0
2x-4-3y+3+z+3=0
2x-3y+z+2=0
3.a) Déterminer les coordonnés du point d'intersection H de la droite d et du plan (ABC).
On appelle le point d'intersection entre la droite d et le plan (ABC) M de coordonnées (x;y;z). On cherche ses coordonnés précisent. Pour ce faire, je résous le système d'équation suivant :
Donc M(-41/7;-12/7;32/7) le point d'intersection de la droite d et du plan (ABC).
Je ne sais pas trop comment m'y prendre pour la question suivante.
2x-3y+z+2 n'est pas une équation de quoi que ce soit.
2x-3y+z +2 = 0 (1ere équation de ton système) n'est pas l'équation du plan (ABC)
refaire vraiment la question 2b (équation de (ABC))
détails et pas jeter un truc sans justification
(erreur de signe)
en fait tu mélanges deux méthodes de calcul de l'équation du plan : tu dis que tu fais l'une et tu calcules l'autre, en te trompant sur un signe en plus.
1ère méthode
n (2; -3; 1) est un vecteur normal (question précédente)
l'équation du plan est donc de la forme 2x-3y+z+d = 0
ce plan passe par A(2; 1; 3)
donc en remplaçant x, y et z par les coordonnées de A, on obtient d
2ème méthode
on écrit que pour tout point M (x; y; z) du plan le vecteur AM est orthogonal à n (produit scalaire) et on simplifie.
(il n'y a plus de "d" à chercher, il est donné directement par le calcul)
on ne mélange pas.
b) Donner une équation cartésienne du plan (ABC)
On peut donner 2x-3y+z+d = 0 comme équation cartésienne du plan (ABC)
pour calculer d j'ai pris les coordonnées de A (2;1;3) :
2*2-3+3+d=0
4+d=0
d=-4
3.a) Déterminer les coordonnés du point d'intersection H de la droite d et du plan (ABC).
On appelle le point d'intersection entre la droite d et le plan (ABC) M de coordonnées (x;y;z). On cherche ses coordonnés précisent. Pour ce faire, je résous le système d'équation suivant :
Donc M(-5;-3;5) le point d'intersection de la droite d et du plan (ABC).
OK cette fois.
pour la question suivante
après avoir soigneusement vérifié l'énoncé (que c'est bien AB et pas HA par exemple)
traduis sur les coordonnées la relation vectorielle
tu obtiens un système en les trois inconnues a,b,c
ce système étant homogène (second membre=0) la solution est "à un coefficient près"
c'est à dire que là aussi tu peux fixer arbitrairement une des inconnues. (à une valeur quelconque non nulle bien entendu !)
nota : détailler à outrance la résolution du système de façon aussi filandreuse (14t = 14 puis t = 14/14 = 1
n'est pas utile : ça dilue trop la rédaction inutilement.
tu peux en terminale écrire ça de façon plus sobre !
b) Déterminer des nombres réels non nuls de a, b et c tels que :
En effet, j'ai fait une faute de frappe, merci de l'avoir remarqué. Il s'agit donc bien de HA et non AB. De plus j'aurais dû appeler le point d'intersection H et non M
Alors j'ai calculé les coordonnées
(7;4;-2)
(2;2;2)
(8;5;-1)
Mais je n'ai pas très bien saisi ce que je devais faire en suivant.
Si j'ai bien compris, je suis censé avoir quelque chose de la forme:
pas du tout
traduire une relation vectorielle en coordonnés
aU + bV +cW = 0
c'est calculer en fonction de a, b, c, les coordonnées du vecteur
aU + bV + cW et écrire que chacune est nulle (=coordonnées du vecteur nul)
comme il y a trois coordonnées (x, y, z) ça donne 3 équations en les inconnues a,b,c
avec U = (xU; yU; zU) etc, donne 3 équations de la forme :
a*xU + b*xV + c*xW = 0
soit ici avec
7a +2b +8c = 0
etc (pareil avec les coordonnes y et z)
PS pas dispo avant 22h mais carpediem et sylvieg suivent certainement la discussion
(y compris une erreur sans doute aussi dans l'énoncé de la question 4)
on choisi que c=1
On trouve que a=-1 et b=-1/2
(Pour trouver ça j'ai fait 7a+2b+8-4a-2b-5=0 pour annuler 2b. On obtient alors 3a+3=0 a=-1. Puis ensuite j'ai remplacé a par sa valeur: 7+2b+8=0
b=-1/2)
oui
mais a, b, c sont défini à un facteur près, on peut écrire sans fractions
(et on n'écrit jamais "+-1" !)
si on passe à la question 4,
on remarque un
exactement les mêmes coefficients -2, -1, 2
mais manque de bol c'est avec M et pas H et d'autre part
(y compris une erreur sans doute aussi dans l'énoncé de la question 4)
ça serait bien plus sympa si c'était
l'énoncé a-t-il été recopié correctement ?
en tout cas on va comme il est dit dans l'énoncé
Conseil : penser à utiliser l'équation de Chasles dans la 1ère parenthèse de façon à exploiter la relation obtenue à la question 3.b)
Alors je ne sais pas trop si c'est ce qui mettait demandé mais j'ai trouvé des coordonnées de M(-5;-3;5)
Donc on sait que si un vecteur est nul alors le produit scalaire est nul donc égale à 0.
Donc on a bien:
l'énoncé a-t-il été recopié correctement ?
En effet, veuillez m'excuser, il s'agit d'une faute de frappe
Donc on sait que si un vecteur est nul alors le produit scalaire est nul donc égale à 0.
Donc on a bien:
Non
M n'est pas H !!
M est un point quelconque variable d'un ensemble de points R inconnu que l'on te demande de déterminer:
Déterminer la nature de l'ensemble R des points M.
"trouver les coordonnées de M" n'a rigoureusement aucun sens
il FAUT faire comme on a dit
utiliser Chasles pour transformer
en quelque chose qui,fait intervenir H (et M, les deux)
pour pouvoir utiliser la relation de la question d'avant sur H
et simplifier cette expression là (toute seule, le produit scalaire on verra ensuite)
le principe est d'écrire
ce devrait être le réflexe immédiat quand tu entends parler de Chasles et qu'on a deux relations, une avec M et une avec H
alors certes, si par hasard M est en H, alors le produit scalaire est nul
la seule chose qu'on peut en déduire est que H appartient à l'ensemble R des points M cherché.
ensemble qui n'est absolument pas constitué du seul point H
juste en passant :
il est évident que a= b= c = 0 et tu as du voir cela dans ton cours en voyant les combinaison linéaire : le vecteurs HA, HB et HC sont coplanaires donc chacun d'eux s'écrit en fonctions des deux autres
et en mettant tout dans un même membre on aura bien évidemment la relation demandée
de plus si (a, b, c) est une solution alors (ka, kb, kc) est aussi une solution pour tout réel k (*)
c'est pourquoi l'énoncé précise des réels non nuls
on choisi que c=1
alors en notant L1, L2 et L3 les trois lignes du système on a :
L1 - L2 donne a + c = 0 donc c = -a
et en remplaçant c par -a dans L2 et dans L3 on obtient la même équation a - 2b = 0
donc on arrive au système :
2b = a
c = -a
et c'est seulement maintenant qu'on se fixe une inconnue :
on pourrait choisir a = 1 mais cela introduirait des fractions comme te l'a fait remarqué mathafou donc en se rappelant (*) ben on va plutôt prendre a = 2 ce qui donne (2, 1, -2) et même en prenant a = -2 alors ça donne (-2, -1, 2) tout comme les coefficients de la question suivante ...
Je ne savais pas comment faire donc j'ai essayé de déduire.
Et donc j'en ai déduit que l'ensemble des points M sont les points appartenant à la droite perpendiculaire a CB et passant par H.
Mais en effet j'aurais du mettre les droites
ça ne veut toujours pas dire grand chose ...
n'oublie pas que tu es dans l'espace et inspire-toi de la question 2/ ...
Bonjour,
Le produit scalaire MH.CB étant nul, les vecteurs MH et BC sont orthogonaux et, par suite, les droites (MH) et (CB) sont perpendiculaires.
La droite (CB) est fixe.
Mais la droite (MH) ne l'est pas. Seul son point H est fixe, de sorte qu'elle peut tourner autour de ce point.
Quel est donc l'ensemble des points M ?
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