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Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles

Posté par
qilqil
22-10-20 à 22:53

Bonsoir,

Une question se pose dans un de mes exercices de maths sur les vecteurs:
Déterminer un point M de la droite (HG) tel que les droites (MF) et (IL) soient parallèles.

J'ai calculé les vecteurs FM(x-1, y-0, z-1) et IL(-3/4, 2/3, 0).
Je pense qu'il faut que ces vecteurs soient colinéaires, mais comment trouver les coordonnées du point M grâce à cette information ?
Merci d'avance pour votre réponse

Posté par
Yzz
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 22-10-20 à 22:56

Salut,

Sans l'énoncé complet, impossible de répondre.
Tu dois utiliser aussi l'autre donnée de l'énoncé :

Citation :
Déterminer un point M de la droite (HG) tel que les droites (MF) et (IL) soient parallèles.

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 22-10-20 à 22:59

En fait c'est un cube ABCDEFGH. J'ai les coordonnées de L(1/4; 1; 0), F(1;0;1), I(1;1/3;0) et M qu'on ne connait pas M(x:y:z).

Posté par
Yzz
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 22-10-20 à 23:01

M est sur la droite (HG) , donc HM et HG sont aussi colinéaires...

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 22-10-20 à 23:08

Je peux trouver les coordonnées du point M grâce à cette information ? J'ai essayé de faire HM=HG et résolu les équations mais je trouve M(1,1,1) ce qui n'est pas cohérent... Comment je pourrais faire autrement ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 22-10-20 à 23:47

Bonjour,

en passant :
est-ce à nous de deviner les énoncés ?? (de deviner quel est le repère, d'avoir les infos que parce qu'on te les demande etc)

au lieu de devoir le demander petit bout par petit bout, ne penses tu pas qu'il serait bien plus efficace de donner les énoncés en entier mot à mot dès le premier message ?
(avec schéma au besoin)

et aussi en passant, en attendant le retour de Yzz ;
- colinéaires ne veut pas dire égaux !
- et quand on obtient un résultat aberrant c'est qu'on a fait des erreurs quelque part
      tes calculs, il faut les deviner aussi ?

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 00:00

Voici l'énoncé complet (j'aurais bien aimé mettre une photo du cube, mais on ne peut pas insérer de photo sur ce site) :

ABCDEFGH est le cube représenté ci-dessous. Les coordonnées des points du cube sont A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), E(0;0;1), F(1;0;1), G(1;1;1), H(0;1;1), I(1;1/3;0), J(0;2/3;1), K(3/4;0;1). Le centre du cube O a pour coordonnées (1/2; 1/2; 1/2). On se place dans le repère (A;AB;AD;AE). On pose le point L qui a pour coordonnées (1/4; 1; 0).

Déterminer un point M de la droite (HG) tel que les droites (MF) et (IL) soient parallèles.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 00:38

ah bein voila. !

mais :
"on ne peut pas insérer de photo sur ce site"
bien sur que si !!

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?


la restriction est qu'il est interdit de mettre des photos (ou scans) de textes
texte de l'énoncé, calculs ... doivent être recopiés
mais bien sur qu'on peut mettre des figures de géométrie !
c'est même parfois indispensable !

ici c'est parfaitement clair avec maintenant la définition du repère et les coordonnées de tout ça,
la figure est facultative, vu que tout se fait "par le calcul".
une figure dans ce cas ce serait juste pour vérifier la cohérence de ces calculs et pour illustrer

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 10:20

Je n'avais pas vu que l'on pouvait insérer des photos ! Merci pour votre aide Mais je suis toujours bloquée sur ma question...

Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 10:31

déja il serait intéressant de compléter la figure par tout ce qui est défini en plus : les points I, J, K, la droite (complète) (HG) etc
ça illustrerait bien le problème
un cube tout nu, tout le monde sait comment c'est

ensuite je te conseille de réviser sérieusement ce que veut dire que des vecteurs sont colinéaires
et par quelle(s) relation(s) cela se traduit sur leurs coordonnées

enfin :

Citation :
et quand on obtient un résultat aberrant c'est qu'on a fait des erreurs quelque part
tes calculs, il faut les deviner aussi ?
bref indiquer ici les détails de tes calculs si tu veux qu'on te dise à quel endroit ils sont faux !

(je laisse la main à Yzz dès qu'il revient bien entendu)

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 10:42

Deux droites sont parallèles lorsque leurs vecteurs respectifs sont colinéaires. Dans notre cas, pour que les droites (MF) et (IL) soient parallèles, il faut que leurs vecteurs MF et IL soient colinéaires.
Mon calcul de tout à l'heure (complètement faux):
HM=HG avec pour coordonnées de HM(x-0, y-1, z-1) et HG(1;0;0)
x-0=1 donc x=1
y-1=0 donc y=1
z-1=0 donc z=1

Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 10:44

AH non il faut que leurs vecteurs FM et Il soient colinéaires !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 11:05

HM=HG

faux (bis répétita)

on veut qu'ils soient colinéaires, pas qu'ils soient égaux

colinéaires veut dire qu'il existe un reél k ≠ 0 tel que HM = k * HG

en écrivant cette relation tu obtiendras en fait ... les équations paramétriques de la droite (HG)

x = une fonction de k
y = une fonction de k
z = une fonction de k

que l'on peut très largement simplifier ...
car une des coordonnées x ou y ou z peut parfaitement jouer le role de k comme tu le verras en les écrivant.

ensuite, tout à fait, avec ces coordonnées là (paramétriques) de M, on écrira que FM et IL sont colinéaires (et pas égaux, ne pas refaire la même erreur)
ce qui donnera la valeur du paramètre et donc les coordonnées de M.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 11:13

HM et HG colinéaires est la traduction de "M de la droite (HG)"
et pas M de n'importe où dans l'espace

on a donc bien les deux colinéarités à traduire
HM et HG colinéaires : M de la droite (HG)
et
FM et IL colinéaires : (FM) et (IL) parallèles

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 11:42

Ca s'éclaircit petit à petit !
Mes calculs pour l'instant donnent:

HM=k*HG
x-0=k*1             x=k
y-1=k*0             y=1
z-1=k*0             z=1

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 11:53

FM=k*IL
x-1=k*-3/4      
y-0=k*2/3      
z-1=k*0      
A ce niveau j'ai le droit de remplacer y et z par les valeurs que j'ai trouvées juste avant (1 et 1) ?  

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 12:02

Pour trouver x j'ai résolu l'équation:

x-1=x*-3/4
-1=-7/4x
x=-1/-7/4=4/7

Du coup pour trouver y j'ai remplacé k par la valeur de x dans la deuxième équation:
y-0=4/7*2/3
y=8/21

Et pour z:
z-1=k*0
z=1

Les coordonnées de M seraient alors : M(4/7; 8/21; 1) ?

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 12:30

Si M(4/7;8/21;1), alors les vecteurs FM et IL devraient être colinéaires:

FM(-3/7; 8/21; 0) et IL(-3/4; 2/3; 0)
Je vérifie qu'ils soient colinéaires: -3/7 / -3/4= 4/7
                                                                              8/21 / 2/3= 4/7
                                                                              0/0= 0 (sauf que ça n'est pas égal à 4/7 comme les
                                                                              deux autres, du coup je doute)
Merci encore pour votre aide vous me sauvez !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 12:55

sucession, de messages ...:

HM=k*HG
x-0=k*1 x=k
y-1=k*0 y=1
z-1=k*0 z=1

oui

cela veut juste dire que les coordonnées de M doivent être (x; 1; 1) avec x dans R pour que M soit sur la droite (HG)
(assez évident sur une figure ... !)

maintenant
FM=k*IL
x-1=k*-3/4
y-0=k*2/3
z-1=k*0
A ce niveau j'ai le droit de remplacer y et z par les valeurs que j'ai trouvées juste avant (1 et 1) ?

oui
donc :
x-1=k*-3/4 (c'est pas le même "k" que pour la droite (HG) !!)
1-0=k*2/3
1-1=k*0
la deuxième donne k, que l'on reporte dans la 1ère pour obtenir x

et à la fin on sait déja que y = z =1
donc, c'est fini, on a x, et on a y = 1 et z=1
il n'y a rien du tout à reporter pour avoir y et z.

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 23-10-20 à 18:39

D'accord !
J'ai donc:

x-1=k*-3/4       x-1=k*-3/4               k=3/2                      k=3/2
y-0=k*2/3        k=1 / 2/3= 3/2       x-1=3/2*-3/4      x=-9/8+1=-1/8
z-1=k*0             z-1=k*0                      z-1=k*0                  1-1=3/2*0

Les coordonnées de M valent donc (-1/8, 1, 1).
Je vérifie que les vecteurs soient colinéaires: FM(-9/8; 1; 0)   IL(-3/4; 2/3; 0)
-9/8 / -3/4 = 1 / 2/3 = 3/2

C'est bien ça ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 24-10-20 à 19:13

Oui.

Posté par
qilqil
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 24-10-20 à 19:20

Merci beaucoup !!

Posté par
Theodadinho
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 16:33

Bonjour , j'ai eu cette question dans mon DM et j'ai pas trop compris tu peux m'envoyer la correction que vous aviez fait en cours SVP pour être sur , merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 17:31

bonjour,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?


("En effet, le but du forum n'est pas de faire les exercices à votre place.")

par contre si tu dis précisément ce que tu ne comprends pas et où tu coinces on peut t'aider à le comprendre.

Posté par
Theodadinho
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 17:35

J'ai eu le même exercice et j'arrive pas à répondre à cette question
terminer un point M de la droite (HG) tel que les droites (MF) et (IL) soient parallèles. 2. a. b. Justifier que la droite (MF) est parallèle au plan (IJK).
J'ai lu vos messages mais malgré ça j'ai pas compris l'essentielle , j'espère que vous pourrez m'aider

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 17:46

terminer un point M de la droite (HG) tel que les droites (MF) et (IL) soient parallèles

as tu compris que cela voulait dire que
les vecteurs \vec{HM} et \vec{HG} doivent être colinéaires pour que M appartienne à la droite (HG)
et (en même temps) que \vec{MF} et \vec{IL} aussi pour que les droites (MF) et (IL) soient parallèles
?

et cela se traduit directement par les équations des messages précédents.
dont la résolution est même détaillée.

Posté par
Theodadinho
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 17:54

Oui j'ai compris ça mais j'ai pas bien suivis les calculs , parce que je comprenais pas d'où ça venait par exemple k* je savais pas c'était quoi , vous pouvez me remontrer SVP

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 18:04

définition :
deux vecteurs \vec{U} et \vec{V} (non nuls) sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que

\vec{U} =k\times \vec{V}
les équations sont directement la traduction sur les coordonnées des vecteurs de cette relation.
le but étant de trouver les valeurs de k et k' (sur chacune des relations de colinéarité) et donc les coordonnées inconnues du point M(x;y;z )

Posté par
Theodadinho
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 18:24

Merci beaucoup j'ai bien compris Maintenant
J'ai une question sur le même cube
L est un point de l'arête DC.
a. Justifier que les coordonnées de L sont de la forme (a;1;0) où a est un réel.
b. Pour quelle valeur de a le point L appartient-il au plan (IJK ) ?
J'ai pas compris comment on peut justifier ça

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 18:47

a) quelles sont les coordonnées de D ? de C ?
et donc les valeurs des ordonnées y et cotes z de tous les points de la droite (DC)
(trivial si on comprend ce que veut dire des coordonnées en général)

b)
ou bien déterminer l'équation du plan et écrire que L appartient à ce plan donnera une équation en l'inconnue a

ou bien écrire que que les vecteurs IL, IJ et IK sont coplanaires et idem

Posté par
Theodadinho
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 18:50

C(1;1;0), D(0;1;0) J'utilise quelle méthode pour calculer ?
Sinon pour la b j'ai pas trop compris

Posté par
mathafou Moderateur
re : Déterminer un point tels que deux droites sont parallèles 03-01-21 à 19:15

pour la a) il n'y a rien à calculer
juste comprendre ce que veut dire des coordonnées.
que tous les points du plan (HDC) qui coupe orthogonalement l'axe des ordonnées (AD) du repère orthonormé \left(A;\;\vec{AB};\; \vec{AD};\; \vec{AE}\right) en le point D par définition d'ordonnée y = 1 aient tous l'ordonnée y =1 est une évidence liée à la définition de ce qu'est ce repère.

et donc en particulier tous ceux de la droite (DC) ont pour ordonnée y = 1
et pareil pour z, tous le points du plan (ABC) ont z = 0

b) rien de plus à dire que ce que j'ai dit
il reste à le faire après avoir choisi laquelle des deux méthodes proposées.



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