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detrminer fonction reciproque
Bonjour,
soit f(x) = . I=]-1;+infini[ . f realise une bijection de I sur J
detrminer f^{-1}(x) pour tout x appartient a J :
Voici ce que j'ai trouve :
f^{-1}(x) = y f(y)=x
=x
y^2-x^2y-x^2=0
= x^4+4x^2>0 :
y1=
y2=
Je bloque ici , car je ne sais pas vraiment quoi choisir de deux expressions vu que x appartient a R et je trouve pas une methode pour encadrer les deux expressions et les comparer avec l'intervalle de y qui appartient a ]-1;+infini[
Bonjour,
Ça pourrait bien être un mixte des deux, quelque chose comme y1 pour x > 0 et y2 pour x < 0
Pour t'aider j'ai tracé les courbes de y = x en bleu, f(x) en noir, y1 en rouge et y2 en vert.
Rappelle-toi que les graphes de f et de f-1 doivent être symétriques par rapport à la première bissectrice y = x...
C'est une bonne idee de tracer la courbe pour comprendre comment doit etre l'expression de f-1 , mais comment peut on demontrer ca algebriquement ??
Merci pour votre effort ...
Et voila ce que j'ai fait pour essayer de domontrer ca : ( a l'aide de tableau de variation de f-1)
On a : y1 >0
pour etuder le signe y2= , on etudier le signe de
y1y2<0 alors y2=
<0
D'apres TV de f-1 : ( avec f(0)=0 )
on deduit que pour tout y>0 ona x > 0 ou f-1 prendre l'expression de y1,
et pour tout y<0 on a x <0 ou f-1 prendre l'expression de y2
x=y/sqrt(y+1) donc x et y sont de meme signe
si x<0
alors y=x^2-sqrt(x^4+4x^2) (tu l'as demontre, on a y<0))
alors y=x^2-abs(x)*sqrt(x^2+4)
alors y=x^2+x*sqrt(x^2+4) car abs(x)=-x
si x>0
alors y=x^2+sqrt(x^4+4x^2) (tu l'as demontre, on a y>0)
alors y=x^2+abs(x)*sqrt(x^2+4)
alors y=x^2+x*sqrt(x^2+4) car abs(x)=x
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