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Niveau maths spé
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Deux ensembles supplémentaires Dans F

Posté par
KrnT
14-09-21 à 15:01

Bonjour/Bonsoir,
Je viens tout justement de faire un exercice qui disait :
Soient E un Kev et F un sev de E
Soient G1 et G2 deux s.e.v supplémentaires de F dans E. Montrer que G1 et G2 sont isomorphes.

Après avoir fait quelques recherches j'ai trouvé plusieurs topics qui parlait du Lemme de Zorn et d'autres concepts que je n'ai pas encore vu, mais bon cela ne m'a pas empêcher d'essayer d'en faire la démo :
Nous pouvons traduire ce qui est en haut par :
F + G1 = F + G2 = E  (Le + est une somme direct )
Donc quelque soit x appartenant a E
Il existe un et un seul : xF1,xF2∈F et il existe un et un seul x1,x2∈ G1xG2 :
x_F_1+x_1 =x_2+x_F_2
 \\ \Leftrightarrow x_{F1} -x_{F2} = x_2 -x_1
La première partie appartient a F donc la deuxieme aussi
et la seule intersection entre G1+G2 et F est {0}
d'où quelque soit x ∈E il existe un et un seul .... tq : x_2=x_1
D'après ça il existe un f:G2-->G1 qui est un isomorphisme
car vu que "quelque soit x il existe" assure la surjectivité
et "l'existence unique" assure l'injectivité
Merci de m'éclairer

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 15:25

Bonjour,

Bel effort, mais ceci

Citation :
la seule intersection entre G1+G2 et F est {0}
n'a aucune raison d'être vrai.
Exemple :  F la doite x=y dans le plan, G1 la droite x=0 et G2 la droite y=0.

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 15:37

PS. Tu peux tester tes idées pour corriger ton raisonnement sur cette situation.

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 16:03

J'avais réfléchis de cette manière :
F ∩ G1={0}
F ∩ G2={0}
F ∩ (G1 union G2)={0}
Et comme F sev :
F ∩ Vect(G1 union G2) ={0}
F  ∩ (Vect(G1) + Vect(G2))={0}
Je crois que la ligne rouge est fausse pas vrai ?

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 16:04

C'est ce que montre le contre-exemple que je t'ai donné.

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 16:23

Et si au lieu de dire x_1-x_2=x_{F1}-x_{F2}
je disais :
x_1=x_{F1}-x_{F2}+x_2
La première partie appartient a G1 donc la deuxième aussi donc
G1 = G2 + F
Si E = F c'est évident
Si E différent de F :
On a G1 ∩ F ={0} et comme G1 est différent de {0}
alors G1+G2 ??

Posté par
etniopal
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 16:38

   Bonjour !
     Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G  ,si  on désigne par p la projection de E sur G ,  son noyau étant  F  et G son image ,  G et E/F sont isomorphes  .

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 16:50

Tu pars d'un x\in F_1 et tu veux attraper un y \in F_2. Un moyen simple : tu décomposes x dans la somme directe F\oplus G_2 pour obtenir  x=u+y avec u\in F et y\in G_2.

Que peux-tu dire de l'application x\mapsto y ainsi définie ?

Tu peux t'aider du dessin de la situation plane que je t'ai décrite pour voir ce qui se passe.

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 17:54

etniopal @ 14-09-2021 à 16:38

   Bonjour !
     Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G  ,si  on désigne par p la projection de E sur G ,  son noyau étant  F  et G son image ,  G et E/F sont isomorphes  .

Belle methode merci !

L'application x-->y Est  de G1--> G2 bijective car il y a l'existence unique et surjective car cela est valable pour tout les x1 appartenant à G1

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 18:24

Je ne comprends pas ton message. Peux-tu être plus clair ?

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 18:38

Désolé :
Quelque soit x1 appartenant à F1 Il existe un et un seul x2 qui vérifie x1=xF+x2
D'où la relation x --> y est injective
Et comme chaque image possède un antécédent ( quelque soit )
Alors elle est surjective ???

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 19:12

etniopal @ 14-09-2021 à 16:38

   Bonjour !
     Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G  ,si  on désigne par p la projection de E sur G ,  son noyau étant  F  et G son image ,  G et E/F sont isomorphes  .

Désolé de te reciter, mais ne faudrait-il pas que  les deux dimensions soient finies ?

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 19:18

KrnT @ 14-09-2021 à 19:12

etniopal @ 14-09-2021 à 16:38

   Bonjour !
     Pourquoi ne pas utiliser le fait que , dans la décomposition de E en somme directe de Fet G  ,si  on désigne par p la projection de E sur G ,  son noyau étant  F  et G son image ,  G et E/F sont isomorphes  .

Désolé de te reciter, mais ne faudrait-il pas que  les deux dimensions soient finies ?

Ah non désolé du dérangement, je viens tout justement de revoir la démonstration . désolé

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 14-09-21 à 19:39

KrnT @ 14-09-2021 à 18:38

Désolé :
Quelque soit x1 appartenant à F1 Il existe un et un seul x2 qui vérifie x1=xF+x2
D'où la relation x --> y est injective

Non, ça montre seulement que l'application x\mapsto y de G_1 dans G_2 est bien définie. Montrer l'injectivité, c'est montrer que deux x différents donnent deux y différents ou alors, si tu as remarqué que x\mapsto y est linéaire, que son noyau est réduit à \{0\}.
Citation :
Et comme chaque image possède un antécédent ( quelque soit )
Alors elle est surjective ???

Là, désolé, mais c'est agiter les mains pour ne rien démontrer.  Démontre sérieusement la surjectivité : que pour tout  y de G_2, il existe x de G_1 tel que ...

Sers toi du dessin dessin que tu as fait (n'est-ce pas ?) dans le plan.

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 15-09-21 à 00:29

J'ai longtemps réfléchis à comment je pouvais m'aider du dessin pour le démontrer .Mais rien ne m'a traverser l'esprit :/
Merci de m'aider à le faire car si je pouvais dorénavant matérialiser le tout sous forme de dessin cela me serait d'une très grande utilité !
Sinon pour la surjectivité j'ai pas pu faire grand chose mis à part :
Soit x2 appartient a G2
x2 = xF +x1
x2=f(x1)
donc tout x2 peut s'écrire sous la forme de f(x1) avec x1appartient a G1 d'où la surjectivité

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 15-09-21 à 12:22

KrnT @ 15-09-2021 à 00:29


x2 = xF +x1
x2=f(x1)
donc tout x2 peut s'écrire sous la forme de f(x1) avec x1appartient a G1

C'est pas mal, mais moi j'argumenterais un peu plus pour passer de x_2=x_F+x_1 à x_2=f(x_1). Je rappelle que f:G_1\to G_2 est défini par f(x) = la composante selon G_2 de x dans la décomposition en somme directe E=F\oplus G_2.

Si tu peines à faire un dessin, tu peux jouer avec celui-là :

Posté par
KrnT
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 15-09-21 à 18:03

Merci infiniment

Posté par
GBZM
re : Deux ensembles supplémentaires Dans F 15-09-21 à 18:14

Avec plaisir.



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