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Développement en base b d'un rationnel
Posté par Alex715
Bonjour,
J'ai quelques difficultés à résoudre un exercice qui nous amène à montrer que le développement en base $b$ d'un rationnel est périodique.
On considère un rationnel $r/d$ appartenant à l'intervalle $]0,1[$. On suppose que $\mathrm{pgcd}(r,d)=1$
Il faudrait tout d'abord montrer qu'il existe 4 entiers naturels $k,n,N_0,N_1$ tels que :
$b^n \cdot \dfrac{r}{d}=N_0+ \dfrac{N_1}{b^k-1}$
avec $N_0 \in [0,b^n-1]$ et $N_1 \in [0,b^k-1]$
Je pense ici que $n$ correspond au nombre de chiffre de la partie non périodique du développement en base $b$ de $r/d$ et $k$ au nombre de chiffre de la partie périodique du développement en base $b$ de $r/d$ mais je n'arrive pas à montrer l'existence de ces entiers.
On devrait pouvoir déduire de cette "formule" le développement en base $b$ du rationnel $r/d$.
Ensuite, on suppose que $b$ et $d$ sont premiers entre eux et en posant $k=\min\{m\in\N\mid b^m\equiv 1 \pmod{d}\}$, on est censé en déduire la valeur de $N_1$, puis montrer que $N_0=0$. Et enfin, on doit déduire de celà que dans ce cas le développement de $r/d$ est nécessairement périodique.
Merci de bien vouloir m'aider.
Bonjour,
J'ai quelques difficultés à résoudre un exercice qui nous amène à montrer que le développement en base d'un rationnel est périodique.
On considère un rationnel appartenant à l'intervalle
. On suppose que
Il faudrait tout d'abord montrer qu'il existe 4 entiers naturels tels que :
avec et
Je pense ici que correspond au nombre de chiffre de la partie non périodique du développement en base
de
et
au nombre de chiffre de la partie périodique du développement en base
de
mais je n'arrive pas à montrer l'existence de ces entiers.
On devrait pouvoir déduire de cette "formule" le développement en base du rationnel
.
Ensuite, on suppose que et
sont premiers entre eux et en posant
, on est censé en déduire la valeur de
, puis montrer que
. Et enfin, on doit déduire de celà que dans ce cas le développement de
est nécessairement périodique.
Merci de bien vouloir m'aider.
Oui, tout à fait.
J'esperais juste qu'un admin passe et réorganise un peu mes messages inutiles.
donc il faut lire :
Posté par gaetanlcs (invité)re : Développement en base b d'un rationnel
moi, je suis parti comme ça :
pgcd(r,d) = 1, on applique l'identité de Bezout :
tels que :
d.x = r.y + 1
si r et d se décomposent sur la base b comme suit :
tels que :
et
en décomposant x et y sur b, et en comparant les "degrés" les plus élevés pour avoir l'égalité, on peut décomposer x et y comme suit :
on remplace et on arrive à :
par contre après, je n'arrive pas à retrouver l'expression que tu donnes
mais j'ai l'intuition que ca devrais donner qqch....
J'avais pas capté au debut je croyais que n était donné.
La je vois pas trop peut etre mettre au meme dénominateur ca revient à chercher:
.
Par Gauss on a deja que doit diviser
.
Sinon pour montrer que le développement décimal d'un rationnel est périodique tu écris les divisions successives l'ensemble des restes possibles etant fini(compris entre 0 et d-1) il existe deux indices n et n+k ou tu en auras deux identiques donc les quotients seront identiques et à partir de ce rang ca sera periodique.
Je pense qu'il faut ensuite utiliser le fait qu'il existe un certain n qui va faire que si alors d' et b premiers entre eux.
Donc il existe k tel que donc d' divise
par suite
divise
donc :
.
En effectuant la division euclidienne de a par on doit obtenir
et
.