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développement limité

Posté par
ludo26 03-10-16 à 09:43

Bonjour,

Il me faudrait un sérieux coup de main pour la compréhension de mon exo:
Calculer si elle existe la limite suivante : \lim_{x\rightarrow +\propto }(tan(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{x}))^{x}

Pouvez vous me conseiller.Merci

Posté par
verdurinre : développement limité 03-10-16 à 10:17

Bonjour,
tu peux regarder le logarithme de ton expression puis faire un DL à l'ordre 1 de
\ln\Bigl(\tan\bigl(\frac{\pi}{4}+\frac1{x}\bigr)\Bigr)

Posté par
ludo26re : développement limité 03-10-16 à 11:03

ok. Je regarde cela cette ap. merci

Posté par
ludo26re : développement limité 03-10-16 à 13:44

donc tanx=x et ln(1+x)=1-x alors ln(tan\frac{\pi }{4}+\frac{1}{x})=ln \frac{1}{x}

Posté par
ludo26re : développement limité 03-10-16 à 13:45

c pas clair

Posté par
lionel52re : développement limité 03-10-16 à 14:05

tan(x) = x ?

Sers toi de tan(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{x}) = \frac{1 + tan(\frac{1}{x})}{1 - tan(\frac{1}{x})} = 1 + 2 \frac{ tan(\frac{1}{x}) }{1 - tan(\frac{1}{x})}  


Avec ln(1 + u) ~ u quand u -> 0 et tan(u) ~ u quand u tend vers 0 tu devrais avoir comme limite e²

Posté par
ludo26re : développement limité 03-10-16 à 14:14

j'ai bien un cour mais dl n'est pas clair, désolé de poser cette question mais le 1+2 ca sort d'où.

Posté par
ludo26re : développement limité 03-10-16 à 15:16

tjrs bloquer

Posté par
scoatarinre : développement limité 03-10-16 à 17:03

Bonjour,

Soustraction et addition d'un même nombre au numérateur

Posté par
verdurinre : développement limité 03-10-16 à 18:20

Bonsoir,
on a

\ln\Bigl(\tan\bigl(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{x}\bigr)^{x}\Bigr)=x\ln\Bigl(\tan\bigl(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{x}\bigr)\Bigr)

Ensuite on calcule la dérivée de la tangente en \frac{\pi }{4}. On trouve 2 sans réelle difficulté.

On a donc

\tan\bigl(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{x}\bigr)=1+\frac{2}{x}+o(\frac{1}{x})

Puis

\ln\Bigl(\tan\bigl(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{x}\bigr)\Bigr)=\ln\bigl(1+\frac{2}{x} +o(\frac{1}{x})\bigr)=\frac{2}{x} +o(\frac{1}{x})

Et il reste à conclure.

Posté par
ludo26re : développement limité 03-10-16 à 20:27

merci

Posté par
ludo26re : développement limité 03-10-16 à 20:28

du coup c'est e^2

Posté par
verdurinre : développement limité 03-10-16 à 20:43

Si tu parle de la limite, je crois que oui.
lionel52 l'a déjà dit.


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